LeetCode 221. 最大正方形

问题描述

解题思路

动态规划

1. 定义状态：dp[i][j] 表示矩阵中以 (i, j) 为右下角的最大正方形的边长。

2. 状态转移方程：如果 matrix[i][j] 为 '1'，则 dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。

3. 初始化：第一行和第一列的 dp 值等于 matrix 中的对应值。

4. 遍历：从第二行第二列开始遍历矩阵，根据状态转移方程更新 dp 值。

5. 结果：遍历结束后，找到 dp 中的最大值，即为最大正方形的边长，返回其面积。

代码实现

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int r = matrix.size();
        int c = matrix[0].size();
        int maxSide = 0;
        vector<int> prev(c, 0);
        vector<int> curr(c, 0);
        for (int i = 0; i < r; i++) {
            for (int j = 0; j < c; j++) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    if (i == 0 || j == 0) {
                        curr[j] = 1;
                    }
                    else {
                        curr[j] = min({prev[j - 1], prev[j], curr[j - 1]}) + 1;
                    }
                    maxSide = max(maxSide, curr[j]);
                }
                else {
                    curr[j] = 0;
                }
            }
            prev = curr;
        }
        return maxSide * maxSide;
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m * n)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。

• 空间复杂度：O(n)，用于存储 dp 数组。

总结

本题通过动态规划的方法，利用 dp 数组存储以每个点为右下角的最大正方形边长，从而找到最大正方形的边长，最终计算出面积。这种方法在处理类似问题时非常有效，关键在于正确定义状态和状态转移方程。