LeetCode 300. 最长递增子序列

问题描述

在算法领域，最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称 LIS）是一个经典问题。给定一个整数数组 nums，我们的任务是找到其中最长严格递增子序列的长度。这里的“子序列”指的是在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除（或不删除）数组中的元素得到的新序列。

问题难点

LIS 问题的难点在于如何高效地找到递增子序列。直观的动态规划方法虽然可以解决问题，但时间复杂度较高，为 O(n2)O(n2)。我们寻求一种更优的方法。

算法选择

为了降低时间复杂度，我们采用贪心算法结合二分查找的方法。这种方法的核心是维护一个动态数组 d，其中每个元素是当前已知最长递增子序列的末尾元素。通过二分查找，我们可以在 O(log⁡n)O(logn) 的时间内确定新元素在 d 中的位置，从而在 O(nlog⁡n)O(nlogn) 的时间内找到 LIS。

算法逻辑

1. 初始化一个空的动态数组 d。
2. 遍历输入数组 nums 中的每个元素 num：
   • 使用 lower_bound 在 d 中找到第一个大于等于 num 的元素的位置。
   • 如果 num 大于 d 中的所有元素，将其添加到 d 的末尾。
   • 否则，替换掉 d 中找到的位置的元素，因为 num 可以扩展一个更长的递增子序列。
3. 返回 d 的长度，即最长递增子序列的长度。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm> // for lower_bound

using namespace std;

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> d;
        for (int num : nums) {
            auto it = lower_bound(d.begin(), d.end(), num);
            if (it == d.end()) {
                d.push_back(num);
            } else {
                *it = num;
            }
        }
        return d.size();
    }
};

 

结论

通过贪心算法和二分查找的结合，我们能够有效地解决 LIS 问题，并将时间复杂度降低到 O(nlog⁡n)O(nlogn)。这种方法不仅提高了算法的效率，而且代码实现简洁明了，易于理解和维护。在实际应用中，这种算法可以应用于各种需要找到最长递增子序列的场景，如生物信息学中的序列比对、金融领域的时间序列分析等。