最长不下降子序列#LIS算法

给定一个序列，求最长不下降子序列的长度

定义：a[1…n]为原始序列，dp[k]表示长度为k的不下降子序列末尾元素的最小值，len表示当前已知的最长子序列的长度

初始化：dp[1] = a[1]; len = 1;

现在我们已知最长的不下降子序列长度为1，末尾元素的最小值为a[1]，那么我们让i从2到n循环，依次求出前i个元素的最长不下降子序列的长度，循环的时候我们只需要维护好dp这个数组和len就可以了

重点是怎么维护

我看了很多很多博主讲的关于这个算法，最后看到了这样一篇博客，感觉博主写的超级棒，搞明白之后就有了这一篇博客
原版

新加进来一个元素a[i]
如果这个元素大于等于dp[len]，那就直接加到序列的末尾
dp[++len] = a[i] 即可
那如果这个元素a[i]小于dp[len]呢，那就说明之前的元素可能满足不了len最大，那么就需要找到一个更有潜力，可以得到更优解的数把他替换掉
例如
两个数a[x] a[y] x < y 且a[x] < a[y] 且 dp[x] == dp[y]
这时候明显选择a[x]更有潜力，因为可能存在a[x] < a[z] < a[y]的情况，选择a[x]可以得到更优的解
所以就是当数组dp的值相同的时候，尽量选择更小的a[x]
这个更有潜力的数就是在dp数组中第一个大于当前的a[i]的，第一个意味着前面的都小于等于他
假设第一个大于他的是dp[j]，说明dp[1…j-1]都小于等于它，那么它完全可以接上dp[j-1]然后生成一个长度为j的不下降子序列，而且这个子序列比当前的dp[j]这个子序列更有潜力（因为这个数比dp[j]小）
所以就替换掉它就行了，也就是dp[j]=a[i]
寻找第一个大于等于他的数
可以STL upper_bound 每次复杂度 logn

int a[40005];
int dp[40005];
int main()
{
    int n;	n = read(); 
    for(int i=1;i<=n;i++)	a[i] = read();
    if(n == 0)//0个元素特判一下 
    {
        printf("0\n");
        return 0;
    }
    dp[1] = a[1];  //初始化 
    int len = 1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i] >= dp[len]) dp[++len] = a[i];
		//如果可以接在len后面就接上，如果是最长上升子序列，这里变成 > 
        else//否则就找一个最该替换的替换掉
        {
            int j = upper_bound(dp+1,dp+len+1,a[i])-dp; 
			//找到第一个大于它的dp的下标，如果是最长上升子序列，这里变成lower_bound 
            dp[j] = a[i];
        }
    }
    printf("%d\n",len);    
    return 0;
}

一道最长不下降子序列的板子题