最长不下降子序列的O(n^2)算法和O(nlogn)算法

本文介绍了求解最长不下降子序列的两种算法,一种是简单但效率较低的O(n^2)方法,另一种则是更为高效的O(nlogn)算法,并详细解释了这两种算法的工作原理。

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概念定义:

设有一个正整数序列a[n]: a1,a2,...,an ,对于下标i1<i2<...<ih,若有ai1,ai2,...,aih, 则称序列a[n]含有一个长度为h的不下降子序列。

例如,对于序列3 7 9 16 38 24 27 38 44 49 21 52 63 15
对于下标 i1=1,i2=4,i3=5,i4=9,i5=13, 满足

13<16<38<44<63

则存在长度为5的不下降子序列。

问题描述:

当给定序列a1,a2,an后,求出最长的不下降序列的长度?


解法

简单的O(n^2)的算法

对于任意的i, 定义d[i]是以ai结束的最长不下降子序列的长度,那么显然,问题的解为d[n]。
不妨假设,已求得以a1,a2,...,aj1结束的最长不下降子序列的长度分别为d[1],d[2],...,d[j1],其中d[1]=1
那么对于ai,其中i<j1, 若aiaj,则以ai,aj结束的不下降子序列长度为的d[i]+1,显然ai结束的最长不下降子序列的长度

d[j]=max(d[i])+1

其中1ij1,aiaj
更新公式中每次都得从头遍历整个d[i],所以算法复杂度为O(n^2)

复杂点的O(nlogn)算法

O(nlogn)的算法关键是它建立了一个数组b[],b[i]表示长度为i的不下降序列中结尾元素的最小值,用k表示数组目前的长度,算法完成后k的值即为最长不下降子序列的长度。
具体点来讲:
不妨假设,当前已求出的长度为k,则判断a[i]和b[k]:

  1. 如果b[k]a[i],即a[i]大于长度为k的序列中的最后一个元素,这样就可以使序列的长度增加1,即k=k+1,然后更新b[k]=a[i];

  2. 如果b[k]>a[i],那么就在b[1]…b[k]中找到最大的j,使得b[j] < a[i],即a[i]大于长度为j的序列的最后一个元素,显然,b[j+1] a[i], 那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素,即b[j+1]=a[i]。

可以注意到:b[i]单调递增,很容易理解,长度更长了,d[k]的值是不会减小的,更新公式可以用二分查找,所以算法复杂度为O(logn)。

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