聊一聊数学中的基本定理（五）——主定理

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本系列文章介绍的前面几个定理，分别在算术，代数以及分析领域的基本定理起着各自领域基石的作用，相关内容请戳：

聊一聊数学中的基本定理（四）——微积分基本定理

聊一聊数学中的基本定理（三）——代数基本定理

聊一聊数学中的基本定理（二）——算术基本定理的价值

聊一聊数学中的基本定理（一）——算术基本定理的证明

而接下来这个定理，名字上虽然已经没有了基本（fundamental）二字，但是其名——主定理（main theorem）的响度一点也不压于基本定理的声音。想讲它还有一个原因是，它是难得的一个在离散数学为主导的计算机科学中，用分析的思想来解决的问题的例子。而且还是那么的基础和优雅，说它是整个计算机理论的基石之一也不为过。

主定理的基本内容

主定理谈的是一个由分治算法得到递推关系式的时候，如何来推导时间和空间复杂度的问题。具体如下：

假设有递归关系式，其中 ，为问题规模，为递归的子问题数量，为每个子问题的规模（假设每个子问题的规模基本一样），为递归以外进行的计算工作。

情形一

如果存在常数，有