算法设计与分析-主定理原理

主定理知识

主定理是用于解决形如 T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程的一种方法，其中 a≥1 和 b>1 是常数，f(n)是渐近函数。主定理可以帮助我们快速确定递归算法的时间复杂度。

1.1主定理公式

对于递归关系式 T(n)=aT(nb)+f(n)T(n)=aT(bn​)+f(n)，其中 a≥1a≥1 和 b>1b>1 是常数，f(n)f(n) 是一个渐近正函数，主定理分为三种情况：

计算步骤如下所示：

示例1: T(n)=9T(n3)+nT(n)=9T(3n​)+n

参数：

a=9a=9

b=3b=3

f(n)=nf(n)=n

1. 计算n^logb^a :nlog3^9=n^2

​

1. 比较f(n)和n^logb^a

f(n)=n=O(n^(2−ϵ)，取 ϵ=1。))

(3)应用主定理的第一种情况：

T(n)=Θ(n^2)

示例2: T(n)=T(2n/3)+1

参数：

a=1a=1

b=3/2​

f(n)=1

(1)计算 n^log b^a：

n^log3/2^1=n^0=1

(2)比较 f(n) 和 nlogb^a：得

f(n)=1=Θ(1)

（3）应用主定理的第二种情况：

T(n)=Θ(logn)

示例3: T(n)=3T(n/4​)+nlogn

参数：

a=3a=3

b=4b=4

f(n)=nlogn

(1)计算 nlogb^a：

nlog4​3≈n0.793

(2)比较 f(n) 和 nlogb^a：

f(n)=nlogn=Ω(n0.793+ϵ)，取ϵ=0.2ϵ=0.2。

验证正则条件 

af(n/b)≤cf(n)，即 3(n/4​logn/4​)≤cnlogn，显然只要 c≥3/4​即可。

（3）应用主定理的第三种情况：

T(n)=Θ(nlogn)

注意事项：

如果 f(n)不符合上述三种情况中的任何一种，例如f(n)=nlogn 而 a=b=2a=b=2，那么主定理不适用，需要使用其他方法求解递归方程。