【考研数学公式】11道基本定理

设f(x)在[a,b]上连续，则

定理1（有界定理）$|f(x)|\le M(M>0)$

定理2（最值定理）$m\le f(x)\le M$，其中m，M分别为f(x)在 [a, b] 上的最小值与最大值

定理3（介值定理）当$$m\le \mu \le M\text{时，}\exists \xi ϵ[a,b]\text{，使得}f(\xi )=\mu$$

定理4（零点定理）当$$f(a)\cdot f(b)<0\text{时，}\exists \xi ϵ(a,b)\text{，使得}f(\xi )=0$$

定理5（费马定理）

$$\text{设f(x)满足在}{x}_0\text{点处}\{\begin{array}{l}\text{(1)可导，}\\ \text{(2)取极值，}\end{array}\text{则}{f}^{\prime }(x_0)=0$$

定理6（罗尔定理）

$$\text{设f(x)满足}\{\begin{array}{l}\text{(1)[a, b]上连续，}\\ \text{(2)(a, b)内可导，}\\ \text{(3)f(a) = f(b)，}\end{array}\text{则，}\exists \xi ϵ(a,b),\text{使得}{f}^{\prime }(\xi )=0$$

定理7（拉格朗日中值定理）

$$\text{设f(x)满足}\{\begin{array}{l}\text{(1)[a, b]上连续，}\\ \text{(2)(a, b)内可导，}\end{array}\text{则，}\exists \xi ϵ(a,b)\text{，使得}$$
$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$

或者写成

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

定理8（柯西中值定理）

$$\text{设}f(x)\text{满足}\{\begin{array}{l}\text{(1)[a, b]上连续，}\\ \text{(2)(a, b)内可导，}\\ \text{(3)}{g}^{\prime }(x)\ne 0,\end{array}\text{则，}\exists \xi ϵ(a,b),\text{使得}\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.$$

定理9（泰勒公式）

(1)带拉格朗日余项的n阶泰勒公式

设f(x)在点$x_0$的某个领域内有n+1阶导数存在，则对该领域内的任意点x均有
$$\begin{array}{l}f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n\\ +\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}\text{ ，}\end{array}$$
$$\text{其中}\xi \text{介于}x,x_0\text{之间}$$

(2)带佩亚诺余项的n阶泰勒公式

设f(x)在点$x_0$处n阶可导，则存在$x_0$的一个领域，对于该领域中的任一点，成立
$$\begin{array}{l}f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n\\ \\ +o((x-x_0{)}^n).\end{array}$$

定理10（导数零点定理）

设f(x)在[a,b]上可导，当$$f_{+}^{\prime }(a)\cdot f_{-}^{\prime }(b)<0\text{ 时，}\exists \xi ϵ(a,b)\text{，使得}{f}^{\prime }(\xi )=0$$

定理11（导数介值定理）

设f(x)在[a,b]上可导，若$$f_{+}^{\prime }(a)\ne f_{-}^{\prime }(b)\text{， 则}\forall \mu \text{介于}{f}_{+}^{\prime }(a)\text{与}{f}_{-}^{\prime }(b)\text{之间，}\exists \xi ϵ(a,b)\text{，使得}{f}^{\prime }(\xi )=\mu$$

麦克劳林公式（$x_0=0$时）

$$\begin{gathered} f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1} \\ f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n) \end{gathered}$$

几个重要函数的麦克劳林展开式
$$e^u=1+u+\frac{1}{2}{u}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{u}^n+o(u^n)$$
$$sinu=u-\frac{u^3}{3!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{u^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(u^{2n+1})$$
$$cosu=u-\frac{u^2}{2!}+\frac{u^4}{4!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{u^{2n}}{(2n)!}+o(u^{2n})$$
$$\frac{1}{1-u}=1+u+u^2+\cdots +u^n+o(u^n)$$
$$\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-\cdots +(-1{)}^n{u}^n+o(u^n)$$
$$ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3}-\cdots +(-1{)}^n\frac{u^{n+1}}{(n+1)}+o(u^{n+1})$$
$$(1+u{)}^{\alpha }=1+\alpha u+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{u}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{u}^n+o(u^n)$$