5、线性变换与矩阵相似性：理论、应用与MATLAB实现

线性变换与矩阵相似性：理论、应用与MATLAB实现

1. 线性变换基础

线性变换在向量空间中扮演着重要角色，它是一种将向量从一个空间映射到另一个空间的操作，并且满足特定的线性性质。在这部分内容中，我们将介绍线性变换的基本概念，并通过MATLAB代码展示如何实现一些常见的线性变换。

1.1 线性变换的定义与判断

判断一个变换是否为线性变换是理解线性变换的基础。以下是一些常见的线性变换判断问题：
- 问题示例 ：
- 对于变换 (L (x_1, x_2) = (x_1 + 2x_2, 2x_1 - x_2))，需要根据线性变换的定义来判断它是否为线性变换。线性变换需要满足两个条件：可加性 (L(u + v) = L(u) + L(v)) 和齐次性 (L(cu) = cL(u))，其中 (u) 和 (v) 是向量，(c) 是标量。
- 对于变换 (L (A) = A + A^T)，其中 (A) 是 (k \times k) 矩阵，同样需要验证可加性和齐次性。
- 对于变换 (L (f (t)) = f (t) + f^\prime (t))，其中 (f \in C^1 (-\infty,\infty))，以及 (L (x (k)) = x (k + 1) + x (k))，其中 (x) 是定义在非负整数上的函数，都要依据线性变换的定义进行判断。

1.2 MATLAB实现线性变换相关图形绘制

MATLAB是一种强大的数值计算和图形绘制工具，可以用于实现线性变换相关的图形绘制。以下是一些具体的MATLAB代码示例：
- 绘制原始房屋图形