2、图与网络的推理：理论、方法与挑战

图与网络的推理：理论、方法与挑战

1. 图与网络推理基础

在网络数据的分析中，推理是理解其结构和特性的关键步骤。对于已知二元协变量的情况，可以通过子图来进行分析。例如，根据二元协变量划分的子图，能通过节点形状直观表示。以某个例子为例，其简单随机块模型下的最大似然参数估计如下：
- (p_{00} = \frac{5}{10})
- (p_{01} = \frac{7}{25})
- (p_{11} = \frac{2}{10})

当协变量为k元时，排列相似性的概念起到类似作用。

1.1 近似推理

在已知分类协变量的情况下，相关例子可表示为列联表，从而进行精确推理。但如果协变量是潜在的，最大似然估计会引发组合优化问题。一般来说，在通用k组随机块模型下，对协变量和伯努利参数集进行似然最大化，尚无快速算法。

主要困难在于在指数级大的模型空间上最大化n维k元协变量向量(c)。下面通过一个例子说明这种推理任务的复杂性。

1.1.1 排列与最大化示例

考虑一个根据随机块模型生成的100节点网络，每组50个节点，(p_{00} = p_{11} = \frac{1}{2})，(p_{01} = 0)。有两个排列相似的邻接矩阵(A)和(\Pi A \Pi’)对应同构的图来表示这个网络。从数据(A)推断二元分类协变量向量(c)，等同于找到一个排列相似变换(\Pi A \Pi’)，揭示出明显的划分。

由于该问题的组合性质，对现实世界网络数据进行模型拟合往往需要近似推理。为此，图谱的概念提供了一种利用网络邻接结构代数性质的重要方法。

1.2 图