30、区块链可扩展性的信息论方法探索

区块链可扩展性的信息论方法探索

1. 压缩框架下的通信与存储成本

在压缩框架中，我们使用格向量量化器（LVQ）进行有损增量编码。对于状态更新，有如下定理及相关结论：
- 定理3 ：设 (B(\text{quant}) = {x \in R^d : |x| \leq \text{quant}}) 是可能的状态更新集合，且 (X_t \sim Unif(B(\text{quant})))，那么帧内每个状态更新的通信和存储成本为 (O(d \log(\frac{\text{quant}}{\epsilon}))) 比特。这直接源于用 (B(\epsilon)) 球覆盖 (B(\text{quant})) 的覆盖数，其他标准格也会产生类似成本。
- 定理4 ：对于任何帧 (n)，在检查点 (T_n) 处，帧内状态的最大数量 (M_n) 有界，即 (M_n \leq \min\left{\frac{\log(\text{quant} - \epsilon) - \log \delta_n}{\log L}, \overline{M}\right})，其中 (\delta_n = |\ X_{T_n + 1} - X_{T_n}|) 是帧内的第一次更新。该定理为帧的大小提供了一个基于帧内第一次更新幅度的简单充分条件。较小的第一次迭代意味着帧内可能容纳更多的迭代。这个下界可用于在方案设计前确定典型的帧大小以及相应的通信和计算成本。

较长的帧会减少需要验证和存储的块数，从而简化验证，但如果某个状态验证失败，会使该帧内后续状态也失效，增加验证时间和重新计算成本；较短的帧则会导致过高的通信和存储成本。