12、基于行走袋和豪斯多夫启发式的图编辑距离近似计算

基于行走袋和豪斯多夫启发式的图编辑距离近似计算

1. 基于行走袋的图编辑距离近似

在图编辑距离的计算中，考虑图中节点和边的标签序列。对于图 $G$ 和 $G’$，定义 $k$ - 行走，其标签序列 $s$ 为：
[s = (s_l) l = (\mu(u_0) \nu(u_0, u_1) \mu(u_1) \nu(u_1, u_2) \cdots \mu(u {k - 1}) \nu(u_{k - 1}, u_k) \mu(u_k))]
这里包含 $(2k + 1)$ 个标签，节点和边的标签交替出现。设 $B_i$ 是与从节点 $v_i \in V$ 开始的所有 $k$ - 行走相关的 $(2k + 1)$ 个标签序列的集合。

给定两个图 $G$ 和 $G’$ 及其对应的标签序列集合 $B = {B_i} {i = 1, \cdots, |V|}$ 和 $B’ = {B’_i} {i = 1, \cdots, |V’|}$，对于每对集合 $(B_i, B’_j) \in B \times B’$，替换成本 $c(B_i \to B’_j)$ 可以通过比较标签序列来定义，这等价于比较分别从节点 $v_i$ 和 $v’_j$ 开始的两个带标签的 $k$ - 行走集合。

假设节点或边标签的替换成本在它们不同时不依赖于标签本身，两个序列 $s \in B_i$ 和 $s’ \in B’ j$ 之间的编辑成本可以简单地根据两个序列中相同位置的公共标签数量来定义：
[c(s \to s’) = c {ns} \sum_{l = 0}^{k} \delta_{2l + 1} + c_{es} \su