5、基于PGD的多维与参数化模型求解技术解析

基于PGD的多维与参数化模型求解技术解析

1 退化域中的空间分离

在处理定义于板状域中的问题并计算其三维解时，通常会面临一些挑战。在许多情况下，对于板状或壳状域的模型，会引入不同的简化假设以将三维复杂度降低到二维，这也是结构力学中板壳弹性理论以及粘性流动润滑模型的发展思路。然而，许多实际应用中的复杂物理现象不允许进行这种降维处理，只能求解全三维模型。但在退化域中，三维网格包含过多元素，会影响求解效率。

1.1 问题定义

定义三维板域 $\Omega = \Xi \times \Gamma$，其中 $\Gamma$ 表示板的厚度。对于定义在 $\Omega$ 上的三维热传导方程：
$L(u) = f(x, z)$
这里假设 $L(u) = L_x(u) + L_z(u)$，其中 $L_x = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$，$L_z = \frac{\partial^2}{\partial z^2}$。

1.2 求解过程

采用面内 - 面外分离表示法：
$u(x, z) \approx \sum_{i=1}^{N} X_i(x) \cdot Z_i(z)$
将其代入与上述方程相关的弱形式：
$\int_{\Xi\times\Gamma} u^ \cdot (L(u) - f) dx dz = 0$
在特定的富集步骤 $n$ 中，$i < n$ 的函数 $X_i(x)$ 和 $Z_i(z)$ 已知，需要计算涉及 $X_n(x)$ 和 $Z_n(z)$ 的新项。由