30、牛顿型迭代法投影方案与风速振荡动力学建模

牛顿型迭代法投影方案与风速振荡动力学建模

牛顿型迭代法投影方案

在实际应用中，我们常常会遇到非线性不适定算子方程 $F(x) = f$ 的求解问题，其中 $F : D(F) ⊆ X → X$ 是定义在实希尔伯特空间 $X$ 上的单调算子。由于通常只能获取带噪声的数据 $f^δ$，且满足 $|f - f^δ| ≤ δ$，而原方程是不适定的，所以需要使用正则化方法来获得稳定的近似解。

拉夫连季耶夫正则化方法

拉夫连季耶夫正则化方法适用于 $F$ 为单调算子的情况。通过求解算子方程 $F(x) + α(x - x_0) = f^δ$（其中 $α > 0$ 是正则化参数，$x_0 ∈ D(F)$ 是解 $\hat{x}$ 的已知初始近似），可以得到正则化近似解 $x^δ_α$。根据一般正则化理论，对于任意 $α > 0$，该方程有唯一解 $x^δ_α$，并且当 $α → 0$，$δ → 0$（前提是 $α$ 选择得当）时，$x^δ_α → \hat{x}$。

投影方法

为了在 $X$ 的有限维子空间中获得方程的近似解，我们引入投影方法。设 ${P_h} {h>0}$ 是 $X$ 上的一族正交投影，定义 $\varepsilon_h := |F’(x)(I - P_h)|$，$\forall x ∈ D(F)$，并假设 $\lim {h→0} \frac{|(I - P_h)x_0|}{b_h} = 0$ 且 $\lim_{h→0} b_h = 0$，同时 $\varepsilon_h → 0$ 当 $h → 0$。
迭代序列定义如下：
- $y^{h,δ} {n,α} =