12、拉普拉斯变换在线性系统分析中的应用与稳定性研究

拉普拉斯变换在线性系统分析中的应用与稳定性研究

1. 拉普拉斯变换的分式展开

在拉普拉斯变换中，对于形如 (X(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{N(s)}{(s^{2}+\beta s + \gamma)^{n}D_{other}(s)}) 的式子，可进行部分分式展开（PFE）。例如，对于 (X(s)=\frac{4s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}(s + 1)})，将其展开为 (X(s)=\frac{A}{s + 1}+\frac{B_{2}s + C_{2}}{(s^{2}+1)^{2}}+\frac{B_{1}s + C_{1}}{s^{2}+1})。
操作步骤如下：
1. 利用简单线性因子的技巧，求出 (A = 1)。
2. 将等式两边同乘 ((s^{2}+1)^{2}(s + 1))，得到 (4s^{2}=(B_{2}s + C_{2})(s + 1)+(B_{1}s + C_{1})(s^{2}+1)(s + 1))。
3. 通过比较 (s) 的同次幂系数，解得 (B_{2} = -1)，(C_{2} = 1)，(B_{1} = 2)，(C_{1} = -2)。
4. 最终得到 (X(s)=\frac{1}{s + 1}+\frac{-s + 1}{(s^{2}+1)^{2}}+\frac{2s - 2}{s^{2}+1})，再利用相关表格对这三个分式进行反变换。

2. 拉普拉斯变换在系统微分方程求解中的应用

对于由线性常系数微分方程 (\sum_{l = 0}^{n_{D}}a_{l}\frac{d^{l}y(t)}{dt^{l}}=\sum_{l = 0}^{n_{N}}b_{l}