拉普拉斯变换拾遗

1、前言

因笔者学生时代，复变函数相关课程，学得并不认真，以致于工作后，阅读相关论文时，遇到拉普拉斯变换时，常不知所言，遂心生“负师友规训之德”的愧意，于是重新记录下拉普拉斯变换的学习历程。供自己闲时温故。

2、拉普拉斯变换

2.1 定义

设函数$f(t)当t\ge 0$时有定义，且广义积分
$${\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$$
在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s的函数
$$F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt\text{\hspace{1em}(式1)}$$
叫做函数$f(t)$的拉普拉斯变换，F(s)也可称做f(t)的象函数。

2.2 算子

$$f(t)⟶F(s)$$
$$\frac{df(t)}{dt}⟶sF(s)$$

2.3 RLC无源网络

如下图是由电阻R、电感L、电容C组成的无源网络
其输入输出关系的微分方程为：
$$LC\frac{d^2{u}_o(t)}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_o(t)}{dt}+u_o(t)=u_i(t)$$

对上式进行拉普拉斯变换得到:
$L[\frac{d{u}_o(t)}{dt}]=s{U}_o(s)-u_o(0)$
$L[\frac{d^2{u}_0(t)}{d{t}^2}]=s^2{U}_o(s)-s{u}_o(0)-u_o^{{}^{\prime }}(0)$
整理可得：
$LC(s^2{U}_o(s)-s{u}_o(0)-u_o^{{}^{\prime }}(0))+RC(s{U}_o(s)-u_o(0))+U_o(s)=U_i(s)$