10、拉普拉斯变换：原理、计算与应用

拉普拉斯变换：原理、计算与应用

1. 拉普拉斯变换的引入

在工程分析和电路、滤波器设计中，许多信号可以用一种类似于傅里叶级数的形式来表示。不过，这里的信号通常是“伪周期”的，其正弦分量的幅度可能会衰减或增大。广义相量 $X(p_i)$ 类似于傅里叶级数系数，包含了求解稳态解所需的所有幅度和相位信息。

基于这些概念，我们引入拉普拉斯变换（LT）。大多数用于工程分析和设计的信号可以表示为无穷多个复频率指数的和，每个指数都由一个无穷小幅度的“广义相量”加权。

1.1 单边和双边拉普拉斯变换的定义

• 双边拉普拉斯变换（BLT） ：对于信号 $x(t)$，其双边拉普拉斯变换定义为：
  [X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt]
  这里的信号在正时间和负时间都可能不为零。
• 单边拉普拉斯变换（ULT） ：单边拉普拉斯变换定义为：
  [X(s)=\int_{0^-}^{\infty}x(t)e^{-st}dt]
  当信号在 $t < 0$ 时为零，ULT 和 BLT 是相同的。虽然 BLT 可以处理更广泛的信号类，但 ULT 允许我们找到由于非零初始条件引起的自然响应分量，常用于分析从某个时刻（通常为 $t = 0$）开始的信号。

1.2 拉普拉斯变换的存在性

拉普拉斯变换是关于复变量 $s = \sigma + j\omega$ 的函数，其中 $\sigma$ 沿横坐标，$j\omega$ 沿纵坐标的复平面称为 $s$ 平