解析“最大路径和”问题（二）：矩阵取数问题（一般方法论讲解+实例应用分析）

深入解析“最大路径和”问题（二）：树形动态规划与矩阵取数问题

在上一篇博客中，我们通过二叉树的“最大路径和”问题，详细讲解了树形动态规划的解法。然而，路径问题不仅仅存在于树结构中，矩阵中也有类似的路径最优化问题。这次我们将进一步扩展，分析矩阵取数的问题。

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问题描述：矩阵取数游戏

题目

小明玩一个矩阵取数游戏，规则如下：

1. 给定一个 $n\times n$) 的矩阵 $a_{ij}$，其中每个格子的价值 $a_{ij}\ge 0$。
2. 游戏从左上角格子 $(1,1)$ 出发，只能向右或下移动，直到到达右下角格子 $(n,n)$。
3. 每经过一个格子，就能获得该格子的价值。
4. 要求求出从左上角到右下角路径的最大价值和。

输入

• 第一行：矩阵大小$n$。
• 接下来的 $n$ 行：每行有 $n$个非负整数，表示矩阵格子的价值。

输出

• 最大价值和。

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方法论：动态规划解法

1. 解题思路

矩阵取数问题是一个典型的二维动态规划问题。
动态规划的核心是通过构造一个二维数组 $dp$，记录到达每个格子的最大价值和，逐步计算出右下角的最大得分。

状态定义

• $dp[i][j]$：表示从左上角到达格子 $(i,j)$ 的最大价值和。

状态转移方程

我们定义：$a$