“最大路径和”问题（一）：树形动态规划（一般方法论讲解+实例应用分析）

“最大路径和”问题：方法论与实例详解

“最大路径和”问题是树形动态规划中的经典题目。该问题通常涉及二叉树结构，要求找到从任意节点出发到任意节点结束的路径，使路径上的节点值之和最大。本文将通过详细讲解该问题的经典解法，并通过实例分析帮助大家深入理解。

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问题描述

给定一个二叉树的根节点 root，每个节点包含一个整数值。
路径被定义为一系列从树中某个节点到另一个节点的连接，不一定经过根节点，但路径中的每个节点只能被访问一次。
要求返回路径的最大和。

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示例

输入：

      1
     / \
    2   3

输出：

最大路径和为 6
解释：路径为 2 -> 1 -> 3

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方法论：从暴力到高效

1. 暴力法（直观解法）

思路

暴力法的基本思想是枚举所有可能的路径，并计算路径和的最大值。路径可以通过递归遍历树来枚举。

具体步骤

1. 定义递归函数遍历树的所有节点。
2. 对于每个节点，计算：
   • 经过该节点的左子树的最大路径和。
   • 经过该节点的右子树的最大路径和。
   • 从左子树到右子树经过该节点的路径和。
3. 在所有计算的路径和中取最大值。

缺点

暴力枚举所有可能路径，时间复杂度很高，特别是在树的节点数量较多时，不适合实际应用。复杂度为 (O(n^2))，其中 (n) 是节点数。

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2. 优化方法：后序遍历 + 动态规划

思路

通过结合后序遍历与动态规划，我们可以有效地减少冗余计算。后序遍历的思想是：

1. 计算每个节点的最大贡献值：
   • 从该节点出发的最大路径和，只能选择左子树或右子树之一。
2. 计算当前节点为路径顶点时的路径和：
   • 路径和 = 左子树的最大贡献值 + 当前节点值 + 右子树的最大贡献值。
3. 维护一个全局变量 maxSum，更新所有路径和的最大值。

通过动态规划在递归中保存子树的最大贡献值，避免重复计算。

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解题步骤与代码实现

我们选择后序遍历 + 动态规划法实现。

步骤 1：定义全局变量

• maxSum：用于记录所有路径和的最大值。

步骤 2：实现递归函数

• 计算每个节点的最大贡献值，并更新全局最大路径和。

步骤