<think>好的，我现在需要帮助用户解决关于C++实现NOIP2007
矩阵取数游戏的动态规划算法的问题。首先，我得回顾一下这个问题和相关的引用内容。
用户的问题是要找一个用C++实现的动态规划算法来计算
矩阵取数游戏的最大得分。根据提供的引用，特别是引用3、4、5，问题涉及每行
取数，每次从行首或行尾
取，得分是元素值乘以次
数i，总得分为各行的得分之和。动态规划是关键方法。
首先，我需要确认问题的具体要求。根据引用3，
游戏规则是每次从每行
取一个元素，m次后
取完。每行的得分是该元素的值乘以
取数的次
数i（从1开始），总得分是各行得分之和。因此，每行的处理是独立的，可以将问题分解为对每一行单独求解最大得分，然后将所有行的结果相加。这一点在引用5中也提到，二维
矩阵可以拆分成一维
数列各自处理。
接下来，动态规划的设计。对于单行来说，如何设计状态转移方程是关键。根据引用2，动态规划用来存储和计算每一步的最大得分，避免重复计算。引用5提到可以使用维护左右端点的方法。对于一维
数组，通常的状态定义是
dp[i][j]表示在
区间[i,j]上能获得的最大得分。每次操作有两种选择：
取左端点或右端点。由于
取数的次
数会影响得分，需要记录当前是第几次
取数。不过，这里有个优化点：在
区间长度确定的情况下，
取数的次
数其实是确定的。例如，
区间长度为m时，第一次
取数，之后长度减少1，次
数增加1。或者可以反过来考虑，假设当前剩下的
区间是[i,j]，已经
取了k次，那么当前的元素会被乘以
(m -
(j - i
))，因为总共有m次
取数，剩下的次
数是j - i +1次，所以当前
取的是第k = m -
(j - i
)次。不过这个可能需要更仔细的分析。
或者，另一种思路是考虑每一步
取数时，选择左或右，此时该元素被乘以当前的次
数t。例如，当处理到某个
区间[i,j]时，已经
取了t-1次，现在
取第t次，所以元素a[i]或a[j]会被乘以t。然后，状态转移方程可以表示为：
dp[i][j] = max
(a[i] * 2^t +
dp[i+1][j], a[j] * 2^t +
dp[i][j-1]
)
但是这里的问题在于t的值如何确定。因为每次
取数的次
数是从1到m，所以当处理
区间[i,j]时，已经
取了m -
(j - i +1
)次，因此当前的次
数是t = m -
(j - i +1
) +1 = m -
(j - i
)。例如，当
区间长度为m时，第一次
取数，t=1；当
区间长度为1时，最后一次
取数，t=m。这样，每次的乘
数是2^t，但根据题目描述，应该是元素值乘以t，而不是2^t。这里可能需要确认题目中的得分计算方式。根据引用3，得分是“每行
取数的得分 = 被
取走的元素值 * i，其中i表示第i次
取数”。所以正确的乘
数是i，即第几次
取数，而不是2的幂次。但根据引用5中提到的高精度问题，可能原题中的得分计算方式不同。哦，这里可能需要仔细核对题目描述。
查看引用3的说明：“每行
取数的得分 = 被
取走的元素值*i，其中i表示第i次
取数（从1开始编号）”。所以确实是乘以次
数i，而不是指
数增长。那为什么引用5中提到使用__int128？这可能是因为在原来的NOIP2007题目中，得分计算是乘以2^i，导致
数值很大，需要高精度。但用户提供的引用3中的题目描述是弱化版，不含高精度，即乘
数为i。所以需要确认用户的问题是基于哪一个版本。根据用户的问题，他提到的是“NOIP2007
矩阵取数游戏”，而引用3是弱化版，不含高精度，而引用1、2、4、5可能涉及高精度。用户现在需要的是动态规划算法，可能不需要处理高精度，或者需要处理。但根据引用5，可以用__int128来处理高精度，而用户的问题可能希望得到的是标准的动态规划实现，可能假设
数值在合理范围内，或者使用__int128。
因此，我需要先明确问题的得分计算方式。根据用户的问题，他引用了多个来源，其中引用3说明的是弱化版，即乘以i，而其他引用可能涉及原题中的乘以2^i。例如，引用2中提到动态规划，可能原题的得分计算不同。这可能导致算法设计的差异。
需要仔细核对问题。根据用户的问题，他提到的是“NOIP2007
矩阵取数游戏”，而原题可能有两种版本。例如，Luogu P
1005（引用4）的题目描述中，得分计算是否是乘以2^i？这可能影响算法设计。例如，原题NOIP2007提高组的题目中，得分计算可能为每次
取数时，当前
取的是第t次，得分为元素值乘以2^t，然后总和。但用户提供的引用3中描述的是弱化版，得分是乘以i。因此，用户的问题需要明确是哪一个版本。但根据用户的问题描述，他说要寻找“C++实现NOIP2007
矩阵取数游戏的最大得分动态规划算法”，而原题的正确得分计算方式需要确认。
但根据引用3中的描述，用户的问题中的得分计算是乘以i（即第几次
取数），而原题可能不是这样。例如，查阅NOIP2007提高组的题目，
矩阵取数游戏的得分规则是每次
取数的得分为元素值乘以2^t，其中t是第几次
取数。例如，第一次
取数得分为a*2^1，第二次为b*2^2，依此类推。这可能使得
数值极大，需要高精度处理。但用户提供的引用3和5中，可能存在不同版本的题目。因此，用户的问题可能需要明确。但根据用户的问题中引用的内容，引用3是弱化版，不含高精度，而引用5提到可以用__int128处理。因此，可能存在两种不同的情况。
现在，用户的问题可能需要针对原题（可能涉及高精度或使用大
数）或者弱化版（直接乘以次
数i）。需要仔细分析引用中的内容。根据引用3的描述：“每次
取数都有一个得分值，为每行
取数的得分之和；每行
取数的得分 = 被
取走的元素值*i，其中i表示第i次
取数（从1开始编号）”，因此，用户的问题中的得分是乘以i，而不是2^i。而原题（引用4的Luogu P
1005）可能要求的是每次得分乘以2^i，所以需要高精度。用户可能混淆了这两个版本。但根据用户的问题中的引用3，他可能需要弱化版的算法，即乘以i的情况。
因此，动态规划的设计应基于每行处理，每次
取数时的得分为元素值乘以当前次
数t（从1到m）。对于每一行，我们需要计算
取数的顺序使得总得分最大。由于每一行的处理独立，总得分是各行得分的总和。
对于单行的处理，假设该行有m个元素，我们需要进行m次
取数，每次从两端选一个。动态规划的状态可以定义为
dp[i][j]表示在剩余
区间[i,j]时，还能
取k次的情况下获得的最大得分，其中k = j - i +1。因为当
区间长度为len时，已经
取了m - len次，所以当前是第t = m - len +1次
取数。例如，初始时，
区间是[0, m-1]（假设
数组从0开始），此时len=m，所以t=1，即第一次
取数。当
取一个元素后，
区间变为[i+1,j]或[i,j-1]，此时len=m-1，t=2，依此类推。因此，每次
取数的乘
数是t，等于m -
(j - i
) +1？或者需要更准确的计算。
例如，假设原行有m个元素，当前剩下的
区间是i到j，长度为len = j -i +1。已经进行了m - len次
取数，所以下一次
取数是第t = m - len +1次。例如，当剩下m个元素时，已经进行了0次
取数，接下来是第一次
取数，t=1。当剩下一个元素时，已经进行了m-1次
取数，接下来是第m次
取数，t=m。因此，每次
取数时的乘
数是t = m -
(j - i
) +1？或者更准确地说，t等于当前
取数的次
数，即总次
数m减去剩下的元素
数加一？
是的，假设当前剩下的
区间长度是 len = j -i +1，则已经
取了 m - len 次，所以当前
取的是第
(m - len +1
)次。因此，对于
区间[i,j]，对应的乘
数是 t = m -
(j -i +1
) +1 = m - j +i -1 +1 = m - j +i = m -
(j -i
)。这可能更复杂。或者，直接计算t的值为 m - len +1，其中 len = j -i +1。例如：
当 len = m → t=1
当 len = m-1 → t=2
...
当 len=1 → t=m
因此，在
区间[i,j]时，t = m -
(j-i+1
) +1 = m -j +i -1 +1 = m -j +i → 这样可能有问题。或者，更简单的，当处理到
区间[i,j]时，剩下的元素
数目是 len = j -i +1，已经进行了
(m - len
) 次
取数，因此当前是第
(m - len +1
) 次
取数，所以乘
数 t = m - len +1 = m -
(j -i +1
) +1 = m - j +i -1 +1 = m -j +i。这可能不直观。例如，假设m=3，初始
区间是[0,2]（len=3），此时t=1。
取一个元素后，剩下2元素，此时len=2，t=3-2+1=2。再
取一个元素，len=1，t=3-1+1=3。这样是对的。
因此，在动态规划的状态转移中，当处理
区间[i,j]时，当前的乘
数是t = m -
(j -i +1
) +1 = m -
(j-i
) -1 +1 = m -j +i。所以，每次
取左端点的得分是 a[i] * t，加上处理剩下的
区间[i+1,j]的得分；
取右端点的得分是 a[j] * t，加上处理剩下的
区间[i,j-1]的得分。
取两者中的最大值。
因此，动态规划的状态转移方程可以表示为：
dp[i][j] = max
(a[i] * t +
dp[i+1][j], a[j] * t +
dp[i][j-1]
)
其中，t = m -
(j -i
) （因为 j -i +1是当前
区间长度，所以 t = m -
(j -i +1
) +1 = m -j +i）
或者更准确的计算：
t = m -
(j - i +1
) +1 = m -j +i -1 +1 = m -j +i
例如，当i=0，j=0时，
区间长度为1，t=m -0 +0 =m？这显然不对，因为当m=3，i=0,j=0时，此时是最后一次
取数，即第3次，t应为3。而根据公式m-j+i=3-0+0=3，正确。当i=0,j=1，m=3时，t=3-1+0=2，正确，因为此时还剩两个元素，已经
取了3-2=1次，所以当前是第2次
取数。所以公式正确。
因此，动态规划的状态转移方程正确。接下来，初始化条件。当
区间长度为1时，即i ==j，此时只能
取该元素，此时t = m，因此
dp[i][i] = a[i] * m。
对于
区间长度从1到m，逐步处理更大的
区间。然而，这种处理方式可能需要使用记忆化递归或者自底向上的动态规划。通常，自底向上的动态规划会按照
区间长度从小到大进行处理。
例如，对于长度为1的
区间，处理所有i=j的情况。然后处理长度为2的
区间，依此类推，直到长度为m。
具体实现时，可以创建一个二维
数组
dp[n][n]，其中n是每行的元素
数目。对于每行来说，n=m。假设每行存储为一个
数组arr，那么对于每个i和j，计算
dp[i][j]。
接下来，对于每行的计算，总的最大得分是该行的
dp[0][m-1]。
然后，将所有行的得分相加，得到总得分。
现在，考虑如何将这个思路转换为C++代码。例如，对于一个行
数组arr，长度为m，初始化一个二维
数组
dp[m][m]。
初始化时，对于所有i，
dp[i][i] = arr[i] * m。
然后，对于长度l从2到m，遍历所有可能的i，其中j = i + l -1。对于每个i和j，计算当前的t = m -
(j -i
)（即m -
(j-i+1
) +1），然后
取左或右的最大值。
例如，对于l in 2..m:
for
(int l=2; l <=m; l++
){
for
(int i=0; i + l -1 <m; i++
){
int j = i + l -1;
int t = m -
(j -i
); // 或者等价于 t = m -
(j -i +1
) +1 ?
int option1 = arr[i] * t +
dp[i+1][j];
int option2 = arr[j] * t +
dp[i][j-1];
dp[i][j] = max
(option1, option2
);
}
}
这样，当处理完所有长度后，
dp[0][m-1]即为该行的最大得分。
然后，将每一行的这个值相加，得到总得分。
现在，测试这个逻辑是否正确。例如，假设一行有三个元素：a, b, c，m=3。初始时，
dp[0][0]=a*3，
dp[1][1]=b*3，
dp[2][2]=c*3。
当处理长度2时，例如i=0,j=1，t=3 -1 =2。所以，option1是a*2 +
dp[1][1]（即a*2 +b*3），option2是b*2 +
dp[0][0]（即b*2 +a*3）。
取较大者。
同样，对于i=1,j=2，t=3 -1=2，计算option1是b*2 +c*3，option2是c*2 +b*3。
然后，处理长度3，即整个
数组。此时i=0,j=2，t=3 -2=1。所以，option1是a*1 +
dp[1][2]，option2是c*1 +
dp[0][1]。其中，
dp[1][2]是之前计算的b*2 +c*3和c*2 +b*3的最大值。假设这里
取较大的那个，比如假设b*2 +c*3更大，那么option1是a*1 +b*2 +c*3。而
dp[0][1]是max
(a*2 +b*3, b*2 +a*3
)。假设a=1, b=2, c=3，则：
dp[0][0] =1*3=3，
dp[1][1]=2*3=6，
dp[2][2]=3*3=9。
处理长度2：
i=0,j=1：
t=3-1=2.
option1=1*2 +6=8.
option2=2*2 +3=7. 所以
dp[0][1]=8.
i=1,j=2：
t=3-1=2.
option1=2*2 +9=13.
option2=3*2 +6=12 →
dp[1][2]=13.
处理长度3：
i=0,j=2:
t=3-2=1.
option1=1*1 +13=14.
option2=3*1 +8=11 →
dp[0][2]=14.
总得分14。但根据实际情况，
取数顺序可能是：
第一次
取a（t=1 → a*1=1），第二次
取b（t=2 →2*2=4），第三次
取c（t=3 →3*3=9） →总和1+4+9=14。或者其他顺序是否可能更高？
例如，第一次
取c（t=1 →3*1=3），第二次
取a（t=2 →1*2=2），第三次
取b（t=3 →2*3=6） →总和3+2+6=11。或者第一次
取a，第二次
取c，第三次
取b →1*1 +3*2 +2*3=1+6+6=13。或者第一次
取c，第二次
取b，第三次
取a →3*1+2*2+1*3=3+4+3=10。或者第一次
取b，第二次
取a，第三次
取c →2*1 +1*2 +3*3=2+2+9=13。或者第一次
取b，第二次
取c，第三次
取a →2*1 +3*2 +1*3=2+6+3=11。所以最大值是14，确实等于
dp的计算结果。所以算法正确。
这说明动态规划的逻辑是正确的。
接下来，将这个思路转化为C++代码。需要注意的是，对于每行单独处理，然后累加每行的最大得分。
假设输入的
矩阵是n行m列的二维
数组。在C++中，可以逐行处理，计算每行的
dp值，并累加到结果中。
代码的大致结构如下：
读
取n和m；
读
取矩阵，存储为二维
数组matrix；
初始化总得分sum=0；
for 每行 in matrix:
创建
dp[m][m]
数组；
初始化
dp[i][i] = matrix[row][i] * m;
按
区间长度从小到大填充
dp数组；
sum +=
dp[0][m-1];
输出sum；
需要注意的是，由于m可能较大（例如，原题中m可能到80），使用二维
数组可能会占用较多内存，但m=80时，
dp数组的大小是80x80=6400，这在C++中是可行的。
此外，关于
数据类型的选用，如果原题中的得分是乘以i，则
数值可能不会太大，使用int或long long即可。但如果原题中的得分是乘以2^i，则需要使用高精度或__int128。根据用户提供的引用5中提到可以使用__int128来避免高精度，因此，在代码中使用__int128可能更安全，尤其是在原题的情况下。但根据用户的问题中的引用3，弱化版可能不需要高精度，所以需要确认。用户的问题可能希望得到的是动态规划的实现，而
数据类型的选择可能需要根据题目要求。
假设用户需要的是原题的正确解法，而原题的得分计算是每次乘以2^t（t是
取数次
数），此时动态规划的状态转移方程中的乘
数应为2^t。例如，t=1时乘2，t=2时乘4，依此类推。这将导致非常大的
数值，需要高精度处理。例如，在引用5中提到可以用__int128来处理。然而，用户的问题中的引用3描述的是弱化版，乘
数为i，因此可能不需要处理大
数。用户的问题需要明确，但根据用户的问题，他可能希望得到原题的解法，即NOIP2007提高组的题目，这可能涉及到乘2^t的情况。
因此，可能存在两种不同的情况。现在需要确认用户的问题中的得分计算方式。根据引用3，用户的问题中的得分是乘以i，所以代码中乘
数是t。但根据引用5中的代码，原题中的得分是乘以2^t，所以需要用__int128。例如，在引用5的代码中，乘的是2的幂次，所以每个选择都需要乘以对应的2^t。因此，用户可能希望得到原题的正确解法，即得分是元素乘以2的t次方。
此时，我需要重新审视问题。用户引用的引用3描述的是弱化版，而其他引用可能指向原题。例如，引用4的Luogu P
1005题目描述中的规则是否为乘以2^t？
查阅Luogu P
1005的题目描述，确实，原题中的得分计算是每次
取数的得分为元素值乘以2^t，其中t是第几次
取数。例如，第一次
取数乘2，第二次乘4，第三次乘8，依此类推。因此，得分计算方式与引用3中的弱化版不同。这种情况下，动态规划的状态转移方程中的乘
数应改为2^t，这会导致
数值迅速增大，需要处理大
数，但引用5提到可以用__int128来处理。
因此，用户的问题可能存在混淆，因为不同的引用对应不同的题目版本。用户的问题标题是“NOIP2007
矩阵取数游戏”，而原题的正确得分计算方式应为每次
取数时乘以2^t，因此，动态规划的实现需要考虑这一点。
现在，我需要重新调整思路。对于原题的情况，每次
取数的得分为元素乘以2^t，其中t是
取数的次
数（从1开始），因此，每次的乘
数是2的幂次。例如，第一次
取数时乘2，第二次乘4，依此类推。因此，状态转移方程中的乘
数应为2^t，而t的值由当前
取数的次
数决定。
此时，动态规划的状态转移方程应为：
dp[i][j] = max
( a[i] * 2^t +
dp[i+1][j], a[j] * 2^t +
dp[i][j-1]
)
其中，t是当前
取数的次
数。如前面所述，t等于m -
(j-i+1
) +1，即对于
区间[i,j]，剩下的长度是len=j-i+1，已经
取了m - len次，所以当前是第t = m - len +1次
取数，乘
数是2^t。
例如，当m=3，
区间长度为3时，t=1，乘2^1=2；当
区间长度为2时，t=2，乘4；
区间长度为1时，t=3，乘8。
因此，动态规划的状态转移方程需要计算乘
数2的幂次，这会导致
数值极大，必须使用高精度或大
数类型。但在引用5中提到，可以使用__int128来处理，因为其范围足够大（最大值为2^127-1），对于m=80，最大的乘
数是2^80，这会导致元素值乘以2^80，例如，假设元素值最大是1，则得分为2^80 ≈1e24，而__int128的最大值大约是1e38，足够处理m=80的情况。因此，使用__int128是可行的。
因此，正确的动态规划状态转移方程需要考虑2的幂次，并且使用__int128来存储得分。例如，在C++代码中：
定义
dp[i][j]为
区间[i,j]的最大得分，使用__int128类型。
初始化时，
dp[i][i] = a[i] * 2^m（因为当
区间长度为1时，当前是第m次
取数，乘
数为2^m）。
但等一下，当
区间长度为1时，剩下的元素
数目是1，所以已经
取了m-1次，当前是第m次
取数，所以乘
数应为2^m。因此，初始化时，
dp[i][i] = a[i] * 2^m？
这似乎有问题。例如，当m=3时，处理到最后一个元素时，乘
数应为2^3=8？是的。因为在原题中，第一次
取数的乘
数是2^1，第二次是2^2，第三次是2^3。因此，当处理最后一个元素时，此时是第三次
取数，乘
数是8。所以初始化时，每个单独元素的
dp[i][i]的值是a[i] * 2^m？
不，这可能需要重新计算t的值。例如，对于
区间长度为len，当前
取数次
数t = m - len +1。例如，当处理
区间[i,j]，其中len=1，t =m -1 +1 =m。所以乘
数是2^t=2^m。所以初始化时，
dp[i][i] = a[i] * 2^m。例如，当m=3时，每个单独元素的得分是a[i] * 8。
但这样，当m=3时，整个行的最大得分是否会是正确的？
比如，考虑一个行元素a, b, c，按顺序
取a（第一次，乘2）、b（第二次，乘4）、c（第三次，乘8）的得分是a*2 +b*4 +c*8。或者另一种顺序，比如
取c、b、a，得分是c*2 +b*4 +a*8。或者
取a、c、b，得分是a*2 +c*4 +b*8。哪种顺序更大
取决于元素的值。动态规划需要找出最大的得分。
假设元素是1, 2, 3，m=3。则：
-
取顺序a→b→c：1*2 +2*4 +3*8=2+8+24=34.
-
取顺序c→b→a：3*2 +2*4 +1*8=6+8+8=22.
-
取顺序a→c→b：1*2 +3*4 +2*8=2+12+16=30.
-
取顺序b→a→c：2*2 +1*4 +3*8=4+4+24=32.
-
取顺序b→c→a：2*2 +3*4 +1*8=4+12+8=24.
-
取顺序c→a→b：3*2 +1*4 +2*8=6+4+16=26.
因此，最大得分是34。而动态规划的处理方式是否正确？
根据动态规划的状态转移方程，当处理整个
区间[0,2]时，t=1，乘2^1=2。然后，
取左或右：
option1 = a*2^1 +
dp[1][2]
option2 = c*2^1 +
dp[0][1]
其中，
dp[1][2]是处理
区间[1,2]的最大得分，此时t=2，乘4。
处理
区间[1,2]时，
取b或c：
option1 =b*4 +
dp[2][2] →b*4 +c*8.
option2 =c*4 +
dp[1][1] →c*4 +b*8.
当b=2，c=3时，option1=2*4 +3*8=8+24=32； option2=3*4 +2*8=12+16=28 →所以
dp[1][2]=32.
同样，处理
区间[0,1]时，t=2，乘4。
取a或b：
option1 =a*4 +
dp[1][1] →1*4 +2*8=4+16=20.
option2 =b*4 +
dp[0][0] →2*4 +1*8=8+8=16 →
dp[0][1]=20.
所以，处理整个
区间[0,2]时：
option1=1*2 +32=34.
option2=3*2 +20=6+20=26.
所以，
dp[0][2]=34，与实际的最大得分一致。这说明动态规划的逻辑正确。
因此，正确的状态转移方程是考虑乘
数2^t，其中t = m -
(j -i +1
) +1 = m - len +1。因此，在代码中，我们需要计算2的t次方。但是，直接计算2^t可能会很耗时，特别是当t很大时。但观察发现，t的
取值范围是1到m，因此可以预处理2的幂次，存储在一个
数组pow2中，其中pow2[k] = 2^k。例如，pow2[0]=1，pow2[1]=2，pow2[m] = 2^m。这样，在计算时可以快速获
取对应的乘
数。
因此，在代码中，预处理一个pow2
数组，大小为m+1，存储2的幂次。例如：
pow2[0] =1;
for
(int i=1; i<=m; i++
){
pow2[i] = pow2[i-1] *2;
}
然后，在状态转移中，t = m -
(j -i +1
) +1 = m -
(j-i
) -1 +1 = m -
(j -i
). 因此，当前乘
数为pow2[t] = pow2[m -
(j -i +1
) +1] = pow2[m - len +1]，其中len=j-i+1。
或者更直接地，t = m -
(j -i +1
) +1 = m - len +1。例如，当处理
区间[i,j]，长度为len，则t = m - len +1，乘
数是pow2[t]。
因此，预处理pow2
数组，然后在动态规划过程中，计算t为m -
(j -i +1
) +1 = m - len +1，其中len = j -i +1。
现在，将所有这些转换为C++代码。需要注意的是，使用__int128来处理大
数，并且最后输出结果时，需要编写自定义的输出函
数，因为C++标准库不支持__int128的输入输出。
代码的大致结构如下：
预处理pow2
数组；
对于每行：
初始化
dp数组，其中
dp[i][i] = arr[i] * pow2[m];
按
区间长度从小到大填充
dp数组；
总得分是所有行的
dp[0][m-1]之和；
例如，具体代码：
#include <iostream>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
const int MAXM = 85;
ll pow2[MAXM]; // 存储2的幂次
ll
dp[MAXM][MAXM];
void print
(ll num
) {
if
(num ==0
) {
cout<<0;
return;
}
string s;
while
(num>0
) {
s +=
(num%10
) + '0';
num /=10;
}
reverse
(s.begin
(), s.end
());
cout << s;
}
int main
() {
int n, m;
cin >> n >> m;
// 预处理2的幂次
pow2[0] = 1;
for
(int i=1; i<=m; i++
){
pow2[i] = pow2[i-1] *2;
}
ll sum =0;
for
(int row=0; row<n; row++
){
int arr[m];
for
(int i=0; i<m; i++
){
cin >> arr[i];
}
// 初始化
dp数组
for
(int i=0; i<m; i++
){
for
(int j=0; j<m; j++
){
dp[i][j] =0;
}
}
for
(int i=0; i<m; i++
){
dp[i][i] = arr[i] * pow2[m]; // 初始时，每个元素单独
取时乘的是2^m？
// 这里可能有问题，因为当
区间长度为1时，t= m -1 +1 =m →乘2^m？
// 是的，当
区间长度为1时，此时
取数是第m次，乘2^m.
}
// 处理长度从2到m
for
(int len=2; len<=m; len++
){
for
(int i=0; i + len -1 <m; i++
){
int j = i + len -1;
int t = m - len +1; // 因为 len = j-i+1 → t = m -
(j-i+1
) +1 = m - len +1
ll option1 = arr[i] * pow2[t] +
dp[i+1][j];
ll option2 = arr[j] * pow2[t] +
dp[i][j-1];
dp[i][j] = max
(option1, option2
);
}
}
sum +=
dp[0][m-1];
}
print
(sum
);
return 0;
}
但是这里有一个疑问：在初始化
dp[i][i]时，是否是乘以pow2[m]？例如，当m=3，初始时，每个单独元素的得分是arr[i] * 2^3 =8*arr[i]。这在之前的例子中是如此，当处理最后一位元素时，乘的是8，而t=m=3。例如，当m=3，len=1，t=3-1+1=3，乘2^3=8。所以初始化是正确的。
但在之前的例子中，当处理整个行时，最大得分是34，而根据上述代码计算，当处理
区间[0,2]时，t=1，乘2^1=2。然后，
dp[0][2] = max
( a*2 +
dp[1][2], c*2 +
dp[0][1}
)。其中，
dp[1][2}是max
(2*4 +3*8=8+24=32, 3*4 +2*8=12+16=28
) →32。而
dp[0][1}=max
(1*4 +2*8=4+16=20, 2*4 +1*8=8+8=16 →20
). 所以，
dp[0][2} = max
(1*2 +32=34, 3*2 +20=6+20=26 →34
). 因此，sum是34，而如果只有一行，总得分是34，与预期一致。这说明代码是正确的。
因此，上述代码能够正确处理原题中的情况，即每次
取数乘2^t，并且使用__int128存储大
数。在输出时，需要自定义print函
数，因为标准输出不支持__int128。
用户的问题可能希望得到这样的代码。但需要根据用户的具体需求判断是否需要处理高精度或使用__int128。根据引用5，用户可能接受使用__int128的方案，因此这个代码是合适的。
总结，动态规划的关键点在于：
1. 每行独立处理。
2. 状态定义为
区间[i,j]的最大得分。
3. 预处理2的幂次。
4. 使用自底向上的
DP填充。
5. 使用__int128处理大
数。
最后，将各行的最大得分相加，得到总得分。</think>以下是C++实现的
矩阵取数游戏动态规划算法，使用__int128处理大
数运算：
```cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
const int MAXM = 85;
ll
dp[MAXM][MAXM], pow2[MAXM];
// __int128自定义输出函
数
void print
(ll num
) {
if
(!num
) { cout << 0; return; }
string s;
while
(num
) {
s +=
(num % 10
) + '0';
num /= 10;
}
reverse
(s.begin
(), s.end
());
cout << s;
}
int main
() {
int n, m;
cin >> n >> m;
// 预处理2的幂次
pow2[0] = 1;
for
(int i = 1; i <= m; i++
)
pow2[i] = pow2[i-1] * 2;
ll total = 0;
while
(n--
) {
int arr[MAXM];
for
(int i = 0; i < m; i++
)
cin >> arr[i];
// 初始化
DP数组
for
(int i = 0; i < m; i++
)
dp[i][i] = arr[i] * pow2[m];
// 动态规划状态转移
for
(int len = 2; len <= m; len++
) {
for
(int i = 0; i + len - 1 < m; i++
) {
int j = i + len - 1;
int t = m - len + 1; // 计算当前
取数次
数
ll left = arr[i] * pow2[t] +
dp[i+1][j];
ll right = arr[j] * pow2[t] +
dp[i][j-1];
dp[i][j] = max
(left, right
);
}
}
total +=
dp[0][m-1];
}
print
(total
);
return 0;
}
```
### 算法解析
1. **预处理幂次**：预先计算$2^k$值存储于`pow2`
数组，避免重复计算[^5]
2. **状态定义**：`
dp[i][j]`表示处理
区间$[i,j]$时能获得的最大得分
3. **状态转移**：每次选择左端点或右端点，计算两种选择的最优解：
$$
dp[i][j] = \max
(a[i] \times 2^{t} +
dp[i+1][j],\ a[j] \times 2^{t} +
dp[i][j-1]
)$$
其中$t = m -
(j-i+1
) + 1$为当前
取数次
数[^2]
4. **初始条件**：当
区间长度为1时，直接
取数并乘以$2^m$[^3]
### 复杂度分析
- 时间复杂度：$O
(nm^2
)$，每行需要$O
(m^2
)$时间处理
- 空间复杂度：$O
(m^2
)$，使用二维
数组存储状态
### 注意事项
1. 使用__int128处理大
数运算，需自定义输出函
数
2. 每行独立处理，总得分为各行最大值之和[^3]
3. 动态规划采用自底向上的递推方式，保证状态转移顺序正确
这篇博客探讨了洛谷P1005问题，即在一个n×m的矩阵游戏中，如何最大化每次取数的得分。游戏规则规定每次必须从每行取一个元素，且只能取行首或行尾。得分由取数次数和取走的元素值决定。博主提出并解释了求解最大得分的算法，适用于给定的数据范围。
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