矩阵取数问题 V2

一个M*N矩阵中有不同的正整数,经过这个格子,就能获得相应价值的奖励,先从左上走到右下,再从右下走到左上。第1遍时只能向下和向右走,第2遍时只能向上和向左走。两次如果经过同一个格子,则该格子的奖励只计算一次,求能够获得的最大价值。
 
例如:3 * 3的方格。

1 3 3
2 1 3
2 2 1

能够获得的最大价值为:17。1 -> 3 -> 3 -> 3 -> 1 -> 2 -> 2 -> 2 -> 1。其中起点和终点的奖励只计算1次。
Input
第1行:2个数M N,中间用空格分隔,为矩阵的大小。(2 <= M, N <= 200)
第2 - N + 1行:每行M个数,中间用空格隔开,对应格子中奖励的价值。(1 <= A[i,j] <= 10000)
Output
输出能够获得的最大价值。
Input示例
3 3
1 3 3
2 1 3
2 2 1
Output示例
17

思路:

相当于两个人同时从左上走到右下。dp[i][j][k]用来表示走了i步时,第一个人走到第j行,第二个人在第k行。

当j等于k时,说明两人走到了同一个格子,即只能获取一次该格子的价值。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const int MAXN = 205;
const int MAXSTEPS = 405;
 
int m, n;
int a[MAXN][MAXN];
int dp[MAXSTEPS][MAXN][MAXN];
 
void solve()
{
    for (int i = 2; i <= n + m; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n && i - j >= 0; j++)
        {
            for (int k = 1; k <= n && i - k >= 0; k++)
            {
                int temp1 = max(dp[i - 1][j - 1][k - 1], dp[i - 1][j - 1][k]);
                int temp2 = max(dp[i - 1][j][k - 1], dp[i - 1][j][k]);
                dp[i][j][k] = max(temp1, temp2);
                
                dp[i][j][k] += a[j][i - j];
                if (j != k)
                {
                    dp[i][j][k] += a[k][i - k];
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[n + m][n][n] << endl;
}
 
int main()
{
	cin >> m >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			cin >> a[i][j];
		}
	}
    solve();
 
    return 0;
}

### 矩阵起号的含义及用法 矩阵起号通常指的是在编程中定义或初始化矩阵的方式。它是一种用于表示和操作矩阵据结构,广泛应用于学、物理以及计算机科学等领域。以下是关于矩阵起号的定义、用法及其在编程和学中的应用。 #### 1. 矩阵起号的定义 矩阵起号可以理解为一种矩阵的初始化方式,用于创建一个具有特定维度和值的矩阵。例如,在 MATLAB 或 Python 的 NumPy 库中,可以通过多种方法定义矩阵,包括直接列出元素、使用内置函生成特殊矩阵等[^3]。 ```python # 使用列表定义矩阵 matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] # 使用 NumPy 定义矩阵 import numpy as np v1 = np.array([[11, 12, 13], [21, 22, 23]]) # 自定义矩阵 v2 = np.zeros((2, 3)) # 全零矩阵 v3 = np.ones((2, 3)) # 全一矩阵 ``` #### 2. 矩阵起号的用法 矩阵起号的具体用法决于所使用的编程语言或工具。以下是一些常见的矩阵起号方式: - **直接定义**:通过列出所有元素来创建矩阵。 - **内置函**:利用编程语言提供的函生成特定类型的矩阵,如全零矩阵、单位矩阵等。 - **动态生成**:通过循环或其他逻辑动态生成矩阵内容。 例如,在 MATLAB 中,可以通过以下方式定义矩阵: ```matlab % 直接定义矩阵 v1 = [11, 12, 13; 21, 22, 23]; % 2x3 矩阵 % 使用内置函 v2 = zeros(2, 3); % 2x3 全零矩阵 v3 = ones(2, 3); % 2x3 全一矩阵[^3] ``` #### 3. 矩阵起号在学中的意义 在学中,矩阵起号不仅用于定义矩阵,还与矩阵的运算密切相关。矩阵运算的核心在于其结构化特性,使得矩阵能够被用来解决线性方程组、变换空间等问题矩阵乘法的规则是基于行与列的点积计算,这种规则在实际应用中非常重要[^2]。 例如,两个矩阵相乘时,结果矩阵的每个元素是由第一个矩阵的行与第二个矩阵的列对应元素相乘并求和得到的: ```python # 矩阵乘法示例 A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) B = np.array([[5, 6], [7, 8]]) C = np.dot(A, B) # 矩阵乘法 ``` #### 4. 编程中的矩阵起号实现 在编程中,矩阵起号的实现通常依赖于特定的语言或库。例如,Python 的 NumPy 提供了强大的矩阵操作功能,而 MATLAB 则以其对矩阵运算的高度优化著称。以下是两种语言中矩阵起号的简单示例: - **Python 示例**: ```python import numpy as np # 定义矩阵 matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 获矩阵维度 rows, cols = matrix.shape # (2, 2)[^3] ``` - **MATLAB 示例**: ```matlab % 定义矩阵 matrix = [1, 2; 3, 4]; % 获矩阵维度 [rows, cols] = size(matrix); % 2x2[^3] ``` ### 总结 矩阵起号是指在编程或学中定义矩阵的一种方式。它可以是直接列出元素,也可以是通过内置函生成特定类型的矩阵矩阵起号不仅在编程中有广泛应用,也在学领域中扮演着重要角色,尤其是在矩阵运算和线性代问题的解决中。
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