C语言基础应用实战：（详解实际问题以巩固C语言基础知识）——开灯问题：有n盏灯，编号为1~n。第1个人把所有灯打开，第2个人按下所有编号为2的倍数的开关(这些灯将被关掉)

👋 欢迎来到“C语言基础应用实战”篇！

在这一篇博客中，我们将通过一个经典的编程问题来巩固你对数组、循环和条件语句的理解：开灯问题。问题的核心是模拟一个操作过程，并通过逻辑推导来得出最终的状态。通过这个问题，你将学会如何使用 C 语言来解决这类有规律的模拟问题。

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🌟 问题描述

有 n 盏灯，编号为 1~n，初始时所有灯都关闭。现在有 k 个人依次进行操作。每个操作的规则是：

1. 第 1 个人将所有灯打开。
2. 第 2 个人按下所有编号为 2 的倍数的开关（这些灯将被关掉）。
3. 第 3 个人按下所有编号为 3 的倍数的开关（其中关掉的灯将被打开，开着的灯将被关闭）。
4. 依此类推，第 i 个人按下所有编号为 i 的倍数的开关。

最终，我们需要输出哪些灯是开着的。

输入

• 两个整数 n 和 k，其中 1 ≤ k < n ≤ 1000，分别表示灯的数量和进行操作的人数。

输出

• 输出所有开着的灯的编号，按升序排列。

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🎯 解题思路

这个问题的核心是模拟多次开关操作。我们可以使用一个长度为 n 的数组来表示每盏灯的开关状态。初始化时，所有灯的状态为 0（表示关），然后根据规则模拟每个人的操作。

1. 数组表示灯的状态

我们使用一个数组 `a[]` 来存储灯的状态，数组的每个元素代表一个灯：

• `a[i]` 为 1 时表示第 i 盏灯是开的；
• `a[i]` 为 0 时表示第 i 盏灯是关的。

2. 每个人的操作

• 第 1 个人将所有灯打开，所以我们把数组中的每个元素都设置为 1。
• 对于第 i 个人，他会操作所有编号为 i 的倍数的灯（即 `j % i == 0` 的灯），对这些灯执行“开关”操作。
• 我们可以通过 `a[j] = !a[j]` 来实现开关操作（若灯是关的，变为开；若灯是开的，变为关）。

3. 输出开着的灯

最后，我们遍历数组，输出所有值为 1 的灯的编号。

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📝 代码实现

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define N 1010  // 定义数组的最大长度

int a[N];  // 存储灯的状态

int main() {
    int n, k, first = 1;
    scanf("%d%d", &n, &k);  // 输入灯的数量和进行操作的人数

    memset(a, 0, sizeof(a));  // 初始化灯状态数组，0表示关

    // 模拟每个人的操作
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (j % i == 0) {
                a[j] = !a[j];  // 每次按下开关，改变灯的状态
            }
        }
    }

    // 输出所有开着的灯
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (a[i]) {  // 如果灯是开的
            if (first) {
                first = 0;  // 第一个输出前不加空格
            } else {
                printf(" ");  // 后续输出灯号时前面加空格
            }
            printf("%d", i);  // 输出开着的灯的编号
        }
    }

    return 0;
}

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💡 代码分析

1. 初始化数组

memset(a, 0, sizeof(a));  // 将数组 a 中的所有元素初始化为 0，表示所有灯最开始都是关的

tips：使用 `memset` 函数来初始化数组，这是一个简洁且高效的做法。`memset` 会将数组中的所有字节设置为给定的值，这里将所有元素初始化为 0。

2. 模拟开关操作

a[j] = !a[j];  // 如果灯是关的，变为开；如果灯是开的，变为关

通过对每个操作进行模拟，当编号为 `i` 的人按下开关时，我们对所有编号为 `i` 的倍数的灯执行切换操作。

3. 输出开着的灯

if (first) {
    first = 0;  // 第一个输出时不加空格
} else {
    printf(" ");  // 后续输出时加空格
}

使用 `first` 标志量来控制是否在输出灯编号前加空格，确保输出的格式符合要求，即灯编号之间用空格分隔。

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🏆 复杂度分析

• 时间复杂度：：每个人的操作需要遍历 `n` 个灯，总共进行 `k` 轮操作。
• 空间复杂度：：我们使用了一个大小为 `n` 的数组来存储每盏灯的状态。

由于 `n` 和 `k` 都小于 1000，因此这个算法的效率是可以接受的。

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🌟 示例

输入

7 3

输出

1 5 6 7

解析

• 第 1 个人操作：所有灯都打开。
• 第 2 个人操作：关闭编号为 2 的倍数的灯（2, 4, 6）。
• 第 3 个人操作：切换编号为 3 的倍数的灯（3, 6）。

最终，开着的灯编号为 1, 5, 6, 7。

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✨ 总结

1. 开关问题的模拟：通过数组模拟每个灯的开关操作，可以清晰地理解问题的解决过程。
2. 标志量的使用：在输出时使用标志量控制格式，避免不必要的空格。
3. 效率分析：通过分析时间复杂度和空间复杂度，确认了该算法适用于题目中给出的范围。

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✍️ 读者互动

• 👉 你认为如果增加更多的人操作，算法是否还有效？
• 👉 你有没有思考过其他可能的优化方式？

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