一、消元矩阵
消元矩阵执行消元步骤用到的矩阵。从第 iii 个方程减去 lijl_{ij}lij 乘第 jjj 个方程(将 xjx_jxj 从第 iii 行中消去)。我们需要很多个简单的矩阵 EijE_{ij}Eij,每一个对应一个主对角线下方要消除的非零数字。
后面我们会把所有的 EijE_{ij}Eij 结合成一个矩阵 EEE,一次性完成消元。最简洁的方法是将所有的逆矩阵 (Eij)−1(E_{ij})^{-1}(Eij)−1 结合成一个整体的矩阵 L=E−1L=E^{-1}L=E−1。本节的内容:
- 了解每一个步骤都是一次矩阵乘法。
- 将所有步骤的 EijE_{ij}Eij 结合成一个消元矩阵 EEE。
- 了解每一个 EijE_{ij}Eij 如何变成逆矩阵 (Eij)−1(E_{ij})^{-1}(Eij)−1。
- 组合所有的逆矩阵 (Eij)−1(E_{ij})^{-1}(Eij)−1 (右序)变成 LLL。
LLL 的特殊性质是其所有的乘数 lijl_{ij}lij 都是有序的,这些乘数在 EEE 中是混乱的(从 AAA 到 UUU 的前向消元),在 LLL 中(撤销消元,从 UUU 返回到 AAA)会变得有序。反向可以让这些步骤与矩阵 (Eij)−1(E_{ij})^{-1}(Eij)−1 落在反向序列中,防止混乱。
二、矩阵乘向量 Ax = b
上节的例题 3×33\times33×3 的方程组可以简写乘矩阵的形式 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol bAx=b:2x1+4x2−2x3=24x1+9x2−3x3=8−2x1−3x2+7x3=10等价于[24−249−3−2−37][x1x2x3]=[2810](2.3.1)\begin{matrix}2x_1+4x_2-2x_3=2\\4x_1+9x_2-3x_3=8\\-2x_1-3x_2+7x_3=10\end{matrix}\kern 6pt等价于\kern 6pt\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2\\\kern 7pt4&\kern 7pt9&-3\\-2&-3&\kern 7pt7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}\kern 10pt(2.3.1)2x1+4x2−2x3=24x1+9x2−3x3=8−2x1−3x2+7x3=10等价于24−249−3−2−37x1x2x3=2810(2.3.1)左侧的 999 个数字组成矩阵 AAA,矩阵 AAA 乘 x\boldsymbol xx 得到三个方程。
AAA 乘 x\boldsymbol xx 复习:矩阵乘向量得到向量。当方程的数目和未知数的数目相等时,矩阵为方阵。方阵通常表示为 n×nn\times nn×n。向量 x\boldsymbol xx 在 nnn 维空间。未知数是x=[x1x2x3]解是x=[−122]未知数是\kern 5pt\boldsymbol x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\kern 10pt解是\kern 5pt\boldsymbol x=\begin{bmatrix}-1\\\kern 7pt2\\\kern 7pt2\end{bmatrix}未知数是x=x1x2x3解是x=−122重点: Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol bAx=b 表示方程的行形式,也表示列形式:列形式Ax=(−1)[24−2]+2[49−3]+2[−2−37]=[2810]=b(2.3.2)列形式\kern 10ptA\boldsymbol x=(-1)\begin{bmatrix}\kern 7pt2\\\kern 7pt4\\-2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}\kern 7pt4\\\kern 7pt9\\-3\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-2\\-3\\\kern 7pt7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}=\boldsymbol b\kern 10pt(2.3.2)列形式Ax=(−1)24−2+249−3+2−2−37=2810=b(2.3.2)AxA\boldsymbol xAx 是 AAA 列的线性组合,要计算 AxA\boldsymbol xAx 的分量时,可以使用矩阵乘法的行形式,AxA\boldsymbol xAx 的分量就是 x\boldsymbol xx 与 AAA 每行的点积。可以使用累加表示:Ax 的第一分量:(−1)(2)+(2)(4)+(2)(−2)Ax 第 i 分量:(row i)⋅x=ai1x1+ai2x2+⋯+ainxnA\boldsymbol x\,的第一分量:(-1)(2)+(2)(4)+(2)(-2)\kern 48pt\\A\boldsymbol x\,第 \,i\,分量:(\textrm{row}\,\,i)\cdot\boldsymbol x=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_nAx的第一分量:(−1)(2)+(2)(4)+(2)(−2)Ax第i分量:(rowi)⋅x=ai1x1+ai2x2+⋯+ainxn符号记为:∑j=1naijxj\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j∑j=1naijxj
∑\sum∑ 表示累加,从 j=1j=1j=1 开始到 j=nj=nj=n 结束,从 ai1x1a_{i1}x_1ai1x1 开始一直累加到 ainxna_{in}x_nainxn,得到点积 (row i)⋅x(\textrm{row}\,\,i)\cdot\boldsymbol x(rowi)⋅x 。
矩阵表示法:第 1 行第 1 列的元素(左上角)是 a11a_{11}a11,第 1 行第 3 列的元素是 a13a_{13}a13,第 3 行第 1 列的元素是 a31a_{31}a31(行数在前,列数在后)。一般规则:aij=A(i,j)a_{ij}=A(i,j)aij=A(i,j),位置在第 iii 行 jjj 列。
【例1】矩阵有 aij=2i+ja_{ij}=2i+jaij=2i+j,则 a11=3,a12=4,a21=5a_{11}=3,a_{12}=4,a_{21}=5a11=3,a12=4,a21=5。下面是由行得到 AxA\boldsymbol xAx,分别用数字和字母表示:[3456][21]=[3⋅2+4⋅15⋅2+6⋅1][a11a12a21a22][x1x2]=[a11x1+a12x2a21x1+a22x2]\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\cdot2+4\cdot1\\5\cdot2+6\cdot1\end{bmatrix}\kern 15pt\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2\\a_{21}x_1+a_{22}x_2\end{bmatrix}[3546][21]=[3⋅2+4⋅15⋅2+6⋅1][a11a21a12a22][x1x2]=[a11x1+a12x2a21x1+a22x2]
三、一个消元步骤的矩阵形式
方程 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol bAx=b,从第二个式子中减去 222 乘第一个式子,在右侧,b\boldsymbol bb 的第二个分量减去 222 乘第一个分量:第一步b=[2810]变为bnew=[2410]第一步\kern 10pt\boldsymbol b=\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}\kern 10pt变为\kern 10pt\boldsymbol b_{\textrm {new}}=\begin{bmatrix}2\\4\\10\end{bmatrix}第一步b=2810变为bnew=2410若使用矩阵形式实现上述步骤,则需要一个消元矩阵 EEE 乘 b\boldsymbol bb 得到 bnew=Eb\boldsymbol b_{\textrm{new}}=E\boldsymbol bbnew=Eb,从 b2b_2b2 减去 2b12b_12b1:消元矩阵E=[100−210001]消元矩阵\kern 10ptE=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}消元矩阵E=1−20010001用 EEE 乘的结果是使得第 222 行减去 222 乘第 111 行,而第 1、31、31、3 行保持不变:[100−210001][2810]=[2410][100−210001][b1b2b3]=[b1b2−2b1b3]\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\10\end{bmatrix}\kern 10pt\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2-2b_1\\b_3\end{bmatrix}1−200100012810=24101−20010001b1b2b3=b1b2−2b1b3EEE 的第 1、31、31、3 行是来自于单位矩阵 III,它们不会改变第一和第三分量,新的第二个分量 444 是消元之后出现的,即 b2−2b1b_2-2b_1b2−2b1。
消元矩阵 EEE 是将单位矩阵 III 其中的一个 000 变为乘数 −l-l−l。
单位矩阵对角线上的元素都是 111,其余的元素全为 000。对于任意的 b\boldsymbol bb 都有 Ib=bI\boldsymbol b=\boldsymbol bIb=b。消元矩阵 EijE_{ij}Eij 在 i,ji,ji,j 位置处多了一个非零元素 −l-l−l,被 EijE_{ij}Eij 乘会使得第 iii 行减去 lll 乘第 jjj 行。
【例2】矩阵 E31E_{31}E31 的位置 3,13,13,1 是 −l-l−l:单位矩阵I=[100010001]消元矩阵E31=[100010−l01]单位矩阵\kern 10ptI=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\kern 10pt消元矩阵\kern 5ptE_{31}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\\kern 7pt0&1&0\\-l&0&1\end{bmatrix}单位矩阵I=100010001消元矩阵E31=10−l010001 III 乘 b\boldsymbol bb 仍然得到 b\boldsymbol bb,但是 E31E_{31}E31 乘 b\boldsymbol bb 会从 b\boldsymbol bb 的第三分量减去 lll 乘第一分量。当 l=4l=4l=4 时,第三分量为 9−4=59-4=59−4=5:Ib=[100010001][139]=[139]E31b=[100010−401][139]=[135]I\boldsymbol b=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}\kern 10ptE_{31}\boldsymbol b=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}Ib=100010001139=139E31b=10−4010001139=135Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol bAx=b 进行消元时,两侧都会被 E31E_{31}E31 乘,E31E_{31}E31 的目的是在矩阵 (3,1)(3,1)(3,1) 位置处产生 000。
进行消元时,从矩阵 AAA 开始,需要使用多个 EEE 使得主元下方位置都产生 000,第一个 EEE 是 E21E_{21}E21,最终得到三角形 UUU。
消元过程中,向量 x\boldsymbol xx 不会变化,解 x\boldsymbol xx 也不会因消元而改变。只有系数矩阵会改变。若 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol bAx=b,则 EAx=EbEA\boldsymbol x=E\boldsymbol bEAx=Eb,新矩阵 EAEAEA 是 EEE 乘 AAA 的结果。
四、矩阵乘法
两个矩阵如何相乘?若第一个矩阵是 EEE,目标是 EAEAEA,EEE 会使得 AAA 的行 222 减去 222 乘行 111,乘数是 222:EA=[100−210001][24−249−3−2−37]=[24−2011−2−37](得到一个零)(2.3.3)EA=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2\\\kern 7pt4&\kern 7pt9&-3\\-2&-3&\kern 7pt7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2\\\kern 7pt\textbf0&\kern 7pt\textbf1&\kern 7pt\textbf1\\-2&-3&\kern 7pt7\end{bmatrix}\kern 5pt(得到一个零)\kern 10pt(2.3.3)EA=1−2001000124−249−3−2−37=20−241−3−217(得到一个零)(2.3.3)这个步骤没有改变 AAA 的行 111 和行 333,它们在 EAEAEA 中保持不变,只改变了行 222,行 222 减去了行 111 的 222 倍。矩阵乘法与消元法达成了相同的目的,新的系统为 EAx=EbEA\boldsymbol x=E\boldsymbol bEAx=Eb。
EAxEA\boldsymbol xEAx 虽然简单,确含有一个巧妙的思想。从 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol bAx=b 开始,两边同时用 EEE 乘得到 E(Ax)=EbE(A\boldsymbol x)=E\boldsymbol bE(Ax)=Eb。使用矩阵乘法,也是 (EA)x=Eb(EA)\boldsymbol x=E\boldsymbol b(EA)x=Eb。
第一个是 EEE 乘 AxA\boldsymbol xAx,第二个是 EAEAEA 乘 x\boldsymbol xx,它们是相同的。
括号不需要了,可直接写成 EAxEA\boldsymbol xEAx。
这个规律可以扩展至有多个列向量的矩阵 CCC,计算 EACEACEAC 可以先算 ACACAC,也可以先算 EAEAEA,这个规律就是结合律。
注意通常情况下 EAEAEA 不等于 AEAEAE。当 EEE 乘在右侧时,它作用于 AAA 的列而不是行。AEAEAE 会使得 AAA 的列 111 减去 222 乘列 222结合律正确A(BC)=(AB)C交换律错误通常AB≠BA结合律正确\kern 10ptA(BC)=(AB)C\\交换律错误\kern 10pt通常AB\neq BA\kern 12pt结合律正确A(BC)=(AB)C交换律错误通常AB=BA矩阵乘法还有另外一个要求,假设 BBB 只有一列(列 b\boldsymbol bb),矩阵 - 矩阵相乘 EBEBEB 应和矩阵 - 向量相乘的法则一致。甚至矩阵乘法 EBEBEB 可以一次乘一列:
如果 BBB 有多个列 b1,b2,b3b_1,b_2,b_3b1,b2,b3,则 EBEBEB 的列为 Eb1,Eb2,Eb3Eb_1,Eb_2,Eb_3Eb1,Eb2,Eb3。矩阵乘法EB=E[b1,b2,b3]=[Eb1,Eb2,Eb3](2.3.4)矩阵乘法\kern 10ptEB=E[b_1,b_2,b_3]=[Eb_1,Eb_2,Eb_3]\kern 15pt(2.3.4)矩阵乘法EB=E[b1,b2,b3]=[Eb1,Eb2,Eb3](2.3.4)对于式(2.3.3),也可以使用这项性质。EEE 乘 AAA 的列 333,也可以得到正确的 EAEAEA 的列 333:[100−210001][−2−37]=[−217]E(A的列j)=EA 的列 j\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\-3\\\kern 7pt7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\\kern 7pt1\\\kern 7pt7\end{bmatrix}\kern 10ptE(A的列\kern 1ptj)=EA\,的列\,j1−20010001−2−37=−217E(A的列j)=EA的列j矩阵乘法有三种处理方式(行、列、整个矩阵)都可以得到正确的结果。
五、行交换矩阵 PijP_{ij}Pij
从行 iii 减去行 jjj 使用 EijE_{ij}Eij,交换或置换这些行使用另外一种矩阵 PijP_{ij}Pij(置换矩阵)。如果主元位置出现零时,那么就需要行交换,往下方看,主元这一列可能存在非零数字,交换这两行就有主元了,消元也可以继续进行。
置换矩阵 P23P_{23}P23 可以交换行 222 与行 333,将单位矩阵的行 222 与行 333 交换,就可得到 P23:P_{23}:P23:置换矩阵P23=[100001010]置换矩阵\kern 10ptP_{23}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}置换矩阵P23=100001010这个就是行交换矩阵。P23P_{23}P23 乘任意的列向量,都会使其第二分量和第三分量交换,因此也可以交换矩阵的行 222 与行 333:[100001010][135]=[153],[100001010][241003065]=[241065003]\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\5\\3\end{bmatrix},\kern 13pt\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&4&1\\0&0&3\\0&6&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4&1\\0&6&5\\0&0&3\end{bmatrix}100001010135=153,100001010200406135=200460153P23P_{23}P23 交换了行 222 与行 333,使得主元的位置从 000 变成了 666。
置换矩阵可以交换行的顺序。例如行 1,2,31,2,31,2,3 可以变为行 3,1,23,1,23,1,2。
行交换矩阵: 单位矩阵的行 iii 与 jjj 交换顺序可以得到 PijP_{ij}Pij。当置换矩阵 PijP_{ij}Pij 乘一个矩阵时,则该矩阵交换行 iii 与行 jjj。
交换方程 1 与方程 3,左边乘上P13=[100010001]交换方程\,1\,与方程\,3,左边乘上 P_{13}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}交换方程1与方程3,左边乘上P13=100010001一般来说要将主元移至对角线时,需要用到置换矩阵。
六、增广矩阵
下面是一个矩形矩阵也是来源于原始方程,但是包括了右侧的 b\boldsymbol bb。
关键点:消元法对于 AAA 与 b\boldsymbol bb 有相同的行操作,我们可以将 b\boldsymbol bb 当做一个额外的列,一起进行消元。额外列 b\boldsymbol bb 加入后,矩阵 AAA 就变大了,称为增广(augmented)矩阵:增广矩阵[Ab]=[24−2249−38−2−3710]\pmb{增广矩阵}\kern 5pt[A\kern 6pt\boldsymbol b]=\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2&\pmb2\\\kern 7pt4&\kern 7pt9&-3&\pmb8\\-2&-3&\kern 7pt7&\pmb{10}\end{bmatrix}增广矩阵[Ab]=24−249−3−2−372810消元法作用于矩阵的整个行,EEE 同时乘上左侧和右侧,得到方程 222 减去 222 乘方程 111,这个步骤同时发生在 [Eb][E\kern 6pt\boldsymbol b][Eb]:[100−210001][24−2249−38−2−3710]=[24−220114−2−3710]\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2&2\\\kern 7pt4&\kern 7pt9&-3&8\\-2&-3&\kern 7pt7&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2&2\\\kern 7pt0&\kern 7pt1&\kern 7pt1&4\\-2&-3&\kern 7pt7&10\end{bmatrix}1−2001000124−249−3−2−372810=20−241−3−2172410新的第二行包含 0,1,1,40,1,1,40,1,1,4,新的方程 222 为 x2+x3=4x_2+x_3=4x2+x3=4。矩阵乘法同时作用于行和列:行:E 的每一行作用在[Ab]得到[EAEb]的一行列:E作用于[Ab]的每一列得到[EAEb]的一列\pmb{行:}E\,的每一行作用在[A\kern 6pt\boldsymbol b]得到 [EA\kern 6ptE\boldsymbol b]的一行\\\pmb{列:}E作用于 [A\kern 6pt\boldsymbol b]的每一列得到[EA\kern 6ptE\boldsymbol b]的一列行:E的每一行作用在[Ab]得到[EAEb]的一行列:E作用于[Ab]的每一列得到[EAEb]的一列注意作用(act)的意义。矩阵 AAA 作用于 x\boldsymbol xx 得到 b\boldsymbol bb。矩阵 EEE 作用于 AAA 得到 EAEAEA。消元法的过程就是一系列的行运算,也是矩阵乘法。从 AAA 到 E21AE_{21}AE21A,再到 E31E21AE_{31}E_{21}AE31E21A,最后是 E32E31E21AE_{32}E_{31}E_{21}AE32E31E21A,它是个三角矩阵。
方程右侧的引入形成了增广矩阵,最后结果是一个方程的三角形系统。
七、主要内容总结
- Ax=(x1乘列 1)+⋯+(xn乘列 n)A\boldsymbol x=(x_1乘列\,1)+\cdots+(x_n乘列\,n)Ax=(x1乘列1)+⋯+(xn乘列n),(Ax)i=∑j=1naijxj(A\boldsymbol x)_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j(Ax)i=∑j=1naijxj。
- 单位矩阵=I单位矩阵=I单位矩阵=I,消元矩阵=Eij,使用乘数 l21消元矩阵=E_{ij},使用乘数\,l_{21}消元矩阵=Eij,使用乘数l21,置换矩阵=Pij置换矩阵=P_{ij}置换矩阵=Pij。
- E21E_{21}E21 乘 Ax=bA\boldsymbol x=\boldsymbol bAx=b,得到方程 222 减去 l21l_{21}l21 乘方程 111。−l21-l_{21}−l21 是消元矩阵 E21E_{21}E21 在位置 (2,1)(2,1)(2,1) 处的元素。
- 增广矩阵 [Ab]\begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix}[Ab],消元步骤得到 [E21AE21b]\begin{bmatrix}E_{21}A&E_{21}\boldsymbol b\end{bmatrix}[E21AE21b]。
- AAA 乘任意矩阵 BBB,等于 AAA 分别乘 BBB 的每一列。
八、例题
【例3】什么样的 3×33\times33×3 矩阵 E21E_{21}E21 使得矩阵 AAA 的行 222 减去 444 乘行 111?什么样的矩阵 P32P_{32}P32 交换矩阵 AAA 的行 222 与行 333?如果对矩阵 AAA 右乘而不是左乘,描述 AE21AE_{21}AE21 与 AP32AP_{32}AP32 的结果?
解: 对单位矩阵 III 执行一些运算,可得E21=[100−410001],P32=[100001010]E_{21}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-4&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix},\kern 15ptP_{32}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}E21=1−40010001,P32=100001010E21E_{21}E21 乘在矩阵 AAA 的右侧使得 AAA 的列 111 减去 444 乘列 222,P32P_{32}P32 乘在右侧会交换列 222 与 列 333。
【例4】写出下面方程组的增广矩阵 [Ab]\begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix}[Ab]:x+2y+2z=14x+8y+9z=33y+2z=1\kern 4ptx+2y+2z=1\\4x+8y+9z=3\\\kern 24pt3y+2z=1x+2y+2z=14x+8y+9z=33y+2z=1使用 E21E_{21}E21 和 P32P_{32}P32 得到三角形系统。用回代求解方程组。组合矩阵 P32E21P_{32}E_{21}P32E21 一次做了那些工作?
解: E21E_{21}E21 使列 111 的 444 变为 000,但是 000 也出现在了列 222:[Ab]=[122148930321],E21[Ab]=[1221001−10321]\begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&1\\\pmb4&8&9&3\\0&3&2&1\end{bmatrix},\kern 10ptE_{21}\begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&\kern 7pt1\\\pmb0&\pmb0&1&-1\\0&3&2&\kern 7pt1\end{bmatrix}[Ab]=140283292131,E21[Ab]=1002032121−11P32P_{32}P32 交换行 222 与行 333,回代可以求出解 z,y,xz,y,xz,y,x:P32E21[Ab]=[12210321001−1],[xyz]=[11−1]P_{32}E_{21}\begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&\kern 7pt1\\0&3&2&\kern 7pt1\\0&0&1&-1\end{bmatrix},\kern 10pt\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix}P32E21[Ab]=10023022111−1,xyz=11−1组合矩阵 P32E21P_{32}E_{21}P32E21 可以同时完成两个步骤,P32P_{32}P32 作用于 E21E_{21}E21:一个矩阵两个步骤P32E21=E21交换行 2与行 3=[100001−410]\begin{matrix}\pmb{一个矩阵}\\\pmb{两个步骤}\end{matrix}\kern 10ptP_{32}E_{21}=E_{21}交换行\,2与行\,3=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\\kern 7pt0&0&1\\-4&1&0\end{bmatrix}一个矩阵两个步骤P32E21=E21交换行2与行3=10−4001010【例5】矩阵乘法有两种方式。第一,AAA 的行乘 BBB 的列;第二,AAA 的列乘 BBB 的行,这个不寻常的方法会产生两个矩阵,相加后得到 ABABAB。两种方法各需要多少次乘法?两种方法AB=[341520][2411]=[10167948]\pmb{两种方法}\kern 10ptAB=\begin{bmatrix}3&4\\1&5\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&4\\1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&16\\7&9\\4&8\end{bmatrix}两种方法AB=312450[2141]=10741698解: AAA 的行乘 BBB 的列是向量的点积:(row 1)⋅(column 1)=[34][21]=10是 AB 在(1,1)处的元素(row 2)⋅(column 1)=[15][21]=7是 AB 在(2,1)处的元素(\textrm{row}\,1)\cdot(\textrm{column}\,1)=\begin{bmatrix}3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=10\kern 7pt是\,AB\,在(1,1)处的元素\\(\textrm{row\,2})\cdot(\textrm{column}\,1)=\begin{bmatrix}1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=7\kern 13pt是\,AB\,在(2,1)处的元素(row1)⋅(column1)=[34][21]=10是AB在(1,1)处的元素(row2)⋅(column1)=[15][21]=7是AB在(2,1)处的元素总共要做 666 个点积,每个有 222 次乘法,总共需要 (3⋅2⋅2)=12(3\cdot2\cdot2)=12(3⋅2⋅2)=12 次乘法。ABABAB 也可以是 AAA 的列乘 BBB 的行,一列乘一行是一个矩阵,也是 121212 次乘法:AB=[312][24]+[450][11]=[6122448]+[445500]AB=\begin{bmatrix}3\\1\\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\5\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&12\\2&4\\4&8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&4\\5&5\\0&0\end{bmatrix}AB=312[24]+450[11]=6241248+450450