矩阵消元

最新推荐文章于 2025-02-12 15:40:02 发布

天道酬勤whn

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数

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本文介绍了矩阵消元法解方程组的过程，通过增广矩阵进行行变换得到阶梯形矩阵，然后通过回代求解出方程组的解。同时讲解了消元矩阵的概念，如何通过初等矩阵进行行变换，并探讨了矩阵的逆变换，引入了逆矩阵的基本思想。

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消元法

有方程组 $\left\{\begin{aligned}x+2y+z=2\\3x+8y+z=12\\4y+z=2\end{aligned}\right.$ ，写成矩阵形式 $A x = b$ 为 $\begin{bmatrix}1&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\12\\2\end{bmatrix}$

消元法的思路：

$A=\begin{bmatrix}1&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}\underrightarrow{\text{row2-3row1}}\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix}\underrightarrow{\text{row3-2row2}}\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&0&5\end{bmatrix}=U$ ，U的对角线上的元素为三个主元。首先，主元不能为零；其次，如果在消元时遇到主元位置为零，则需要交换行，使主元不为零。当消元失效时，将不能得到三个主元。

下面进行回代，将矩阵 $\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}$ 称为增广矩阵。有 $\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1&2\\3&8&1&12\\0&4&1&2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&2&-2&6\\0&4&1&2\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&2&1&2\\0&2&-2&6\\0&0&5&-10\end{bmatrix}$ ，此时方程组变为 $\left\{\begin{aligned}x+2y+z=2\\2y-2z=6\\5z=-10\end{aligned}\right.$ ，很容易解出 $x = 2, y = 1, z = - 2$

消元矩阵

下面介绍用行来计算矩阵乘法：
$\begin{bmatrix}1&2&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cdots&row_1&\cdots\\\cdots&row_2&\cdots\\\cdots&row_3&\cdots\end{bmatrix}=1×row_1+2×row_2+7×row_3$

从矩阵 $\begin{bmatrix}1&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}$ 到矩阵 $\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix}$ 是第二行减去3倍的第一行，第一、三行不变，则有
$\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\3&8&1\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix}$
将消元矩阵 $\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ 记作 $E_{21}$ ，表示第二行第一个元素变为零。同理有
$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\0&2&-2\\0&0&5\end{bmatrix}$
将消元矩阵 $\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}$ 记作 $E_{32}$ ， $E_{21}、E_{32}$ 都为初等矩阵。将上面两步综合起来有
$E_{32}(E_{21}A)=U$
由于矩阵乘法满足结合律，又可以写成
$E_{32}E_{21})A=U$
下面介绍一种用于置换两行或两列的矩阵，称为置换矩阵，例如：
$\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c&d\\a&b\end{bmatrix}$
如果交换两列则有
$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b&a\\d&c\end{bmatrix}$
总结：在左边用矩阵做乘法进行的是行变换，在右边用矩阵做乘法进行的是列变换。即列变换时右乘，行变换时左乘。

逆

通过消元可以将矩阵 $A$ 变换为 $U$ ，那么将 $U$ 变回 $A$ 的过程称为逆变换。在这里先简单提一下矩阵的逆，这里以 $E_{21}$ 为例：

$E_{21}$ 将 $A$ 的第二行减去3倍的第一行，那么其逆变换为第二行加3倍的第一行，所以逆矩阵为 $\begin{bmatrix}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ ，我们把 $E$ 的逆记作 $E^{-1}$ ，有 $E^{-1}E=I$ ，有
$\begin{bmatrix}1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$