第四章 不定积分 第二节 换元积分法

第二节 换元积分法

一、第一类换元法

\quad 定理 1 \quad 设 $f(u)$ 具有原函数，$u=\phi (x)$ 可导，则有换元公式$$\int f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)\text{d}x={\left[\int f(u)\text{d}u\right]}_{u=\phi (x)}.$$

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二、第二类换元法

\quad 定理 2 \quad 设 $x=\psi (t)$ 是单调的可导函数，并且 ${\psi }^{\prime }(t)\ne 0$. 又设 $f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)$ 具有原函数，则有换元公式$$\int f(x)\text{d}x={\left[\int f[\psi (t)]{\psi }^{\prime }(t)\right]}_{t={\psi }^{-1}(x)},$$其中 ${\psi }^{-1}(x)$ 是 $x=\psi (t)$ 的反函数.

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补充上一节积分公式：
⑭ $\int \mathrm{sh}x\text{d}x=\mathrm{ch}x+C$，

⑮ $\int \mathrm{ch}x\text{d}x=\mathrm{sh}x+C$，

⑯ $\int \tan x\text{d}x=-\ln |\cos x|+C$，

⑰ $\int \cot x\text{d}x=\ln |\sin x|+C$，

⑱ $\int \sec x\text{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$，

⑲ $\int \csc x\text{d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C$，

⑳ $\frac{1}{a^2+x^2}\text{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$，

㉑ $\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\text{d}x=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C$，

㉒ $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\text{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C$，

㉓ $\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\text{d}x=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$，

㉔ $\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\text{d}x=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$.

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习题 4-2