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第七节 无穷小的比较
定义
如果
lim
β
α
=
0
,
\displaystyle\lim\frac{\beta}{\alpha}=0,
limαβ=0, 那么就说
β
\beta
β 是比
α
\alpha
α 高阶的无穷小，记作
β
=
o
(
α
)
;
\beta=o(\alpha);
β=o(α);
如果 lim β α = ∞ , \displaystyle\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infty, limαβ=∞, 那么就说 β \beta β 是比 α \alpha α 低阶的无穷小;
如果 lim β α = c ≠ 0 , \displaystyle\lim\frac{\beta}{\alpha}=c\ne0, limαβ=c=0, 那么就说 β \beta β 是比 α \alpha α 同阶无穷小;
如果 lim β α k = c ≠ 0 , k > 0 , \displaystyle\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=c\ne0, k\gt 0, limαkβ=c=0,k>0, 那么就说 β \beta β 是比 α \alpha α 的 k k k 阶无穷小;
如果 lim β α = 1 , \displaystyle\lim\frac{\beta}{\alpha}=1, limαβ=1, 那么就说 β \beta β 是比 α \alpha α 等价无穷小，记作 α ∼ β . \alpha \sim \beta. α∼β.
定理1 β \beta β 与 α \alpha α 是等价无穷小的充分必要条件为 β = α + o ( α ) \beta=\alpha+o(\alpha) β=α+o(α)
定理2 设 α ∼ α ~ , β ∼ β ~ , \alpha \sim \widetilde{\alpha}, \beta\sim\widetilde{\beta}, α∼α ,β∼β , 且 lim β ~ α ~ \lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}} limα β 存在，则 lim β α = lim β ~ α ~ . \lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}. limαβ=limα β .
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