LeetCode120-三角形最小路径和

给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

说明：

• 如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，那么你的算法会很加分。

一、思路

（一）动态规划

假设三角形有$n$行，每行的列数为$m_i$，则$dp[i][j]$表示：从顶点出发，到第$i$行、第$j$列的结点上的最小路径之和。

我们把顶点所在的行视为第0行，每行的第一列设为第0列

我们可以发现，第0列与最后一列有些特殊，它们只有一条路径，可以直接计算。

给出动态规划方程：
$dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle[i][j]$

C++代码：

class Solution {
public:
	int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
		if (triangle.empty() || triangle[0].empty())
			return 0;
		vector<vector<int>> dp;
		vector<int> zero_row(1, triangle[0][0]);
		dp.push_back(zero_row);
		for (int i = 1; i < triangle.size(); i++) {
			vector<int> temp;
			temp.push_back(dp[i - 1][0] + triangle[i][0]);
			for (int j = 1; j < triangle[i].size() - 1; j++)
				temp.push_back(min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle[i][j]);
			temp.push_back(dp[i - 1][i - 1] + triangle[i][i]);
			dp.push_back(temp);
		}
		int min_sum = dp[triangle.size() - 1][0];
		int n = triangle.size() - 1;
		for (int j = 1; j < dp[n].size(); j++) {
			if (dp[n][j] < min_sum)
				min_sum = dp[n][j];
		}
		return min_sum;
	}

	int min(int a, int b) {
		return (a > b) ? b : a;
	}
};