The Door Problem CodeForces - 776D 并查集||染色法||2-sat

传送门：CodeForces - 776D

题意：有n个门和m个开关，每个门由两个开关控制，每个开关可以控制任意多个门，问能否通过操作某些开关使得所有门都打开。（给出门的初始状态）

思路：明明有那么多解法，却一个也想不到。。。先分析一下题目，大部分开关问题首先要想到的一点就是任何开关操作两次以上都是无意义的，因此对于每个开关，我们要么操作一次，要么不操作，对于控制的门初始状态为1的两个开关，我们要么两个都操作，要么两个都不操作，这样才能保证门的末状态为1，而控制的门初始状态为0的两个开关，我们只能而且必须操作其中一个。

有了上面的分析，我们考虑用并查集维护开关之间的关系，因为每个开关有操作和不操作两种状态，因此，我们要把每个点拆成两个点，i表示第i个开关没操作过，i+m表示第i个开关操作过，若第i个门初始状态为1，控制开关为a和b，则合并a，b和

a+m，b+m。

若初始状态为0，则合并a，b+m和b，a+m。最后判断一下如果存在i和i+m在同一个集合中则说明出现了矛盾。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pi acos(-1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define per(i,n,x) for(int i=n;i>=x;i--)
using namespace std;
typedef pair<int,int>P;
const int MAXN=100010;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int door[2*MAXN];
vector<int>v[2*MAXN];
int f[MAXN*3];
int getf(int k)
{
	return k==f[k]?k:f[k]=getf(f[k]);
}
void merge(int a,int b)
{
	a=getf(a);
	b=getf(b);
	if(a!=b)
	f[a]=b;
}
int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(0);
	int n,m,k,t;
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<=m*2;i++)
	f[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>door[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>k;
		while(k--)
		{
			cin>>t;
			v[t].push_back(i);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(door[i])
		{
			merge(v[i][0],v[i][1]);
			merge(v[i][0]+m,v[i][1]+m);
		}
		else
		{
			merge(v[i][0],v[i][1]+m);
			merge(v[i][0]+m,v[i][1]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	if(getf(i)==getf(i+m))
	{
		cout<<"NO\n";
		return 0;
	}
	cout<<"YES\n";
 	return 0;
}

然后说一下染色法，对于每个门的两个开关建边，权值为门的初始状态，这样建图就有一点二分图的意思了，然后dfs对每个点染色，若边权为1，则端点颜色应该相同，边权为0则端点颜色不同。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pi acos(-1)
#define inf 0x3f3f3f3f
#define lson l,mid,rt<<1
#define rson mid+1,r,rt<<1|1
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)
#define per(i,n,x) for(int i=n;i>=x;i--)
using namespace std;
typedef pair<int,int>P;
const int MAXN=100010;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int door[2*MAXN],clr[MAXN];
vector<int>v[2*MAXN];
vector<P>mp[MAXN];
bool dfs(int u,int c)
{
	if(clr[u])
	{
		if(clr[u]!=c)
		return false;
		return true;
	}
	clr[u]=c;
	for(int i=0;i<mp[u].size();i++)
	{
		int v=mp[u][i].first;
		if(mp[u][i].second)
		{
			if(!dfs(v,c))
			return false;
		}
		else
		{
			if(!dfs(v,-c))
			return false;
		}
	}
	return true;
}
int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(0);
	int n,m,k,t;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>door[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin>>k;
		while(k--)
		{
			cin>>t;
			v[t].push_back(i);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		mp[v[i][0]].push_back(P(v[i][1],door[i]));
		mp[v[i][1]].push_back(P(v[i][0],door[i]));
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!clr[i])
		{
			if(!dfs(i,1))
			{
				cout<<"NO\n";
				return 0;
			}
		}
	}
	cout<<"YES\n";
 	return 0;
}

这题好像还是2-sat模板题，不过蒟蒻还没来得及学2-sat。。等学了再补一发吧。。