树形dp基础知识(树的dfs序，树的深度，树的直径，树的重心)

一、树的dfs序

1、思路

对数进行深度优先搜索时，对于每个节点，在刚进入递归后以及即将回溯前各记录一次该点的编号，最后产生的长度为2N的节点序列就为树的DFS序。——摘自算法竞赛进阶指南（李耀东）

2、性质

1. 每个节点的编号出现两次，一次为$L[x],R[x]$。
2. 闭区间$[L[x],R[x]]$，就是以x为根的子树的DFS序。

3、Code

const int N = 1e5;
int a[N<<1],cnt = 0;//a记录dfs序
bool vis[N];
void dfs(int u){
    a[++cnt] = u;
    vis[x] = 1;
    for(int i = head[u], ~i ;i = e[i].next){
        int v = e[i].v;
        if(vis[v]) continue;
        dfs(v);
    }
    a[++cnt] = u;
}

二、树的深度

1、Code(自上而下)

const int N = 1e5;
int dis[N];//深度
void dfs(int u,int fa){
    for(int i = head[u]; ~i ; i = next[i].next){
        int v = e[i].v;
        if(fa == v) continue;
        dis[v] = dis[u] + 1;
        dfs(v,u);
    }
}

三、树的直径

1、思路

1. 设两个$dp$，$dp1[x]$是$x$点到叶子结点的最长距离，$dp2[x]$是$x$点到叶子结点的次长距离。
2. 树的直径则为$dp1[x]+dp2[x]$。

2、Code（自底而上）

const int N = 1e5+5;
int dp1[N],dp2[N],maxx = 0;//最大距离和次大距离,maxx树的直径
void dfs(int u,int fa){
    for(int i = head[u]; ~i ; i = e[i].next){
        int v = e[i].v;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,u);
        if(dp1[u] < dp1[v] + 1){//更新最大距离
            dp2[u] = dp1[u];
            dp1[u] = dp1[v] + 1;
        }
        else if(dp2[u] < dp1[v] + 1){//更新次大距离
            dp2[u] = dp1[v] + 1;
        }
        maxx = max(maxx,dp1[u]+dp2[u]);//树的直径
    }
}

四、树的重心

1、定义

删除节点$x$后产生的子树中，最大的一棵树的大小最小，则x称为树的重心。

2、思路

1. 设每个节点$x$为根的子树大小$size[x]$，设节点$x$的k个子节点为$y1-y2$，$size[x]=size[y1]+size[y2]+......+size[yk]+1$。
2. 自底向上搜索，记录$x$节点的子节点最大值max_part，并比较max_part与$n-size[x]$(代表从整棵树中删去根节点为x的子树)的大小。
3. 如果max_part小的话，就更新答案。

3、性质

1. 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个距离和，他们的距离和一样。
2. 把两棵树通过一条边相连，新树的重心在原来两棵树重心的连线上。
3. 一棵树添加或删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位子。
4. 一棵树最多有两个重心，且相邻。

4、Code(自底向上)

int size[N];
int n, ans, pos;//ans是max_part,pos是树的重心。
void dfs(int u,int fa){
    size[u] = 1;
    int max_part = 0;
    for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next){
        int v = e[i].v;
        if(v == fa) continue;
        dfs(v,u);
        size[u] += size[v];//从子节点向父亲节点递推
        max_part = max(max_part, size[v]); 
    }
    max_part = max(max_part,n - size[u]);
    if(max_part < ans){
        ans = max_part;
        pos = u;
    }
}