洛谷P1586 四方定理【二维费用背包DP】【黄】

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#动态规划 #c++ #算法

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这篇博客介绍了一个利用动态规划求解正整数分解为平方和的方案数的算法。博主给出了输入输出样例，并详细解释了思路，包括状态转移方程的建立和代码实现，展示了如何统计给定正整数可以表示为四个整数平方和的不同方式的总数。

Date：2022.03.12
题目描述
四方定理是众所周知的：任意一个正整数n，可以分解为不超过四个整数的平方和。例如： $25=1^2+2^2+2^2+4^2$ ，当然还有其他的分解方案， $25=4^2+3^2$ 和 $25=5^2$ 。给定的正整数n，编程统计它能分解的方案总数。注意： $25=4^2+3^2$ 和 $25=3^2+4^2$ 视为一种方案。
输入格式
第一行为正整数t(t≤100)，接下来tt行，每行一个正整数n(n≤32768)。
输出格式
对于每个正整数nn，输出方案总数。
输入输出样例
输入 #1复制
1
2003
输出 #1复制
48

思路：规定某个数的平方为第一花费，上限为给定的 $n$ ；参与数的个数为第二花费，上限为4。
状态转移方程： $f [i] [j] + = f [i - 第一花费] [j - 第二花费];$
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N = 32768,INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
typedef pair<LL, LL> PII;
LL t,n,m,k;
LL f[N+1010][5];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>t;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=sqrt(N);i++)
        for(int j=i*i;j<=N;j++)
            for(int k=1;k<=4;k++)
                f[j][k]+=f[j-i*i][k-1];
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        LL ans=0;
        for(int i=1;i<=4;i++) ans+=f[n][i];
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}