夜深人静写算法(十七)- 分组背包

本文详细介绍了分组背包问题,包括其状态设计、状态转移方程和优化。通过实例展示了如何解决每组至少一个、每组正好一个以及混合分组背包问题,并探讨了分组背包在数论问题中的应用。此外,文章还提供了相关题集整理,帮助读者深入理解分组背包的运用。

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一、前言

  你是否曾经迷茫过?“为什么算法这么难?”
  是的,作者也曾经迷茫过,但是每当通过自己的意识理解了一个算法,之前熬过的苦都烟消云散了,为什么金字塔尖上的人这么少,就是因为他们能忍常人所不能忍,吃常人所不能吃的苦,终成大业!所以,天下无易成之业,亦无不可成之业,各守乃业,则业无不成。
  当你觉得坚持不下去的时候,千万不要心浮气躁,出去跑跑步,刷刷水题,找回一点信心,及时给自己一些正反馈,有了信心,何愁大业不成!所谓正反馈,就是你做的时候有点小开心,本质上就是对爱好的一种改造,就像 夜深人静 的时候写算法一样 Hiahiahia…!

二、分组背包问题

  • 今天要讲的分组背包问题,其中包含了 0/1 背包的思想,如果读者对 0/1 背包还没有很深入的理解,建议回去复习一下 0/1 背包问题,这一章内
### 关于前缀和算法 #### 前缀和的概念 前缀和是一种用于快速计算数组某一段区间的元素之和的技术。通过预先处理得到一个新的数组 `prefix_sum`,其中每一个位置 i 上存储的是原数组从起始位置到当前位置所有元素的累加和。这样可以在常数时间内求得任意子数组的和。 对于长度为 n 的输入序列 A[0...n-1],其对应的前缀和数组 PrefixSum 定义如下: \[ \text{PrefixSum}[i]=\sum_{j=0}^{i}\text{A}[j], (0≤i<n) \][^5] #### C++实现方式 下面是一个简单的C++代码片段来展示如何构建并利用前缀和来进行区间查询: ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int nums[] = {1, 2, 3, 4, 5}; const size_t N = sizeof(nums)/sizeof(int); // 构建前缀和数组 long prefix_sums[N]; prefix_sums[0] = nums[0]; for(size_t i = 1; i < N; ++i){ prefix_sums[i] = prefix_sums[i - 1] + nums[i]; } // 查询指定范围内的总和 auto sum_range = [](const long* ps, int start, int end)->long{ if(start == 0) return ps[end]; else return ps[end]-ps[start-1]; }; cout << "The sum of elements from index 1 to 3 is: " << sum_range(prefix_sums, 1, 3); return 0; } ``` 这段代码首先创建了一个名为 `nums` 的整型数组作为示例数据源;接着定义了函数对象 `sum_range()` 来方便地获取给定索引范围内数值的累积和;最后打印出了下标 1 至 3 这个闭合区间内所有数字相加之和的结果. #### 学习资源推荐 针对希望深入理解前缀和技术及其应用场景的人士,《夜深人静算法》系列提供了丰富的案例研究与实践指导。特别是有关整数分块的部分讨论到了一些基于前缀和技巧优化解决方案的实际例子. 此外,“画解强连通”虽然主要关注图论中的强连通组件问题,但也涉及到了多种高效的数据结构算法组合应用实例,可以间接帮助读者更好地掌握包括但不限于前缀在内的各类实用工具[^1].
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