11、Δ - 模块化多维背包问题的 FPTAS 算法解析

Δ - 模块化多维背包问题的 FPTAS 算法解析

1. 研究背景与问题提出

在整数线性规划领域，针对 m 维有界背包问题（m - BKP）和标准形式的有界整数线性规划问题（m - BILP），目前存在一些复杂度相关的研究结果。已知关于 m 的最佳复杂度界在某些文献中有提及，但对于 Δ - 模块化情况，当前还不清楚如何应用这些结果。并且，现有的 m - BILP 相关结果最初是针对变量无界的版本构建的，其对 Δ 参数的依赖可能导致界相对较弱。构建形如 (f(m) \cdot \Delta^{\Omega(m)} \cdot poly(s)) 的 m - BILP 问题下界，以及寻找 m - BKP 问题的 FPTAS 下界，是未来研究的良好方向。

2. 定理 1 的证明

2.1 贪心算法

对于 m - BKP 问题，当 (u = 1) 时，存在一个 (1/(m + 1)) - 近似算法，该算法可轻松修改以处理通用的上界向量 (u)。具体算法步骤如下：

算法 1. 贪心算法
输入: m - BKP 问题的一个实例;
输出: m - BKP 的 \(1/(m + 1)\) - 近似解;
1: 计算 m - BKP 的线性规划松弛的最优解 \(x_{LP}\);
2: \(y := ⌊x_{LP}⌋\) — 一个取整后的整数解;
3: \(F := \{i: x_{LP}^i \notin Z\}\) — 具有分数值的变量;
4: 返回 \(C_{gr} := \max\{c^⊤y, \max_{i \in F} \{c_i\}\};