HDU 3037 Saving Beans (Lucas定理)

最新推荐文章于 2018-10-15 17:24:00 发布

lp_opai

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种使用Lucas定理解决在多棵树上摘不超过特定数量豆子的问题的方法，包括组合数学公式和模运算的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

/*求在n棵树上摘不超过m颗豆子的方案，结果对p取模。
求C（n+m，m）%p。
因为n，m很大，这里可以直接套用Lucas定理的模板即可。
Lucas（n，m，p）=C（n%p，m%p，p）*Lucas（n/p，m/p，p）；   ///这里可以采用对n分段递归求解，
Lucas（x，0，p）=1；
将n，m分解变小之后问题又转换成了求C（a/b）%p。
而C(a,b) =a! / ( b! * (a-b)! ) mod p
其实就是求 ( a! / (a-b)!)  * ( b! )^(p-2) mod p
(上面这一步变换是根据费马小定理：假如p是质数，且a,p互质，那么a的（p-1）次方除以p的余数恒为1,
那么a和a^(p-2)互为乘法逆元，则（b / a) = (b * a^(p-2) ) mod p)
*/
# include <stdio.h>
# include <algorithm>
# include <string.h>
using namespace std;
__int64 N,M,P;
__int64 pow(__int64 a,__int64 n,__int64 p)
{
    __int64 x=a;
    __int64 res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=(res*x)%p;
        x=(x*x)%p;
        n/=2;
    }
    return res;
}
__int64 C(__int64 n,__int64 m,__int64 p)///组合数学
{
    __int64 a=1,b=1;
    if(m>n)
        return 0;
    while(m)
    {
        a=(a*n)%p;
        b=(b*m)%p;
        m--;
        n--;
    }
    return a*pow(b,p-2,p)%p;
}
__int64 Lucas(__int64 n,__int64 m,__int64 p)///把n分段递归求解相乘
{
    if(m==0)
        return 1;
    return ( C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p) )%p;
}
int main()
{
    int t;
    while(~scanf("%d",&t))
    {
        while(t--)
        {
            scanf("%I64d%I64d%I64d",&N,&M,&P);
            printf("%I64d\n",Lucas(N+M,M,P));

        }
    }
    return 0;
}