HDU3037Saving Beans（lucas定理模板）

题目相当于求n个数的和不超过m的方案数。

如果和恰好等于m，那么就等价于方程x1+x2+...+xn = m的解的个数，利用插板法可以得到方案数为：

(m+1)*(m+2)...(m+n-1)  = C(m+n-1,n-1) = C(m+n-1,m)

现在就需要求不大于m的，相当于对i = 0,1...,m对C(n+i-1,i)求和，根据公式C(n,k) = C(n-1,k)+C(n-1,k-1)得

C(n-1,0)+C(n,1)+...+C(n+m-1,m)

= C(n-1,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+...+C(n+m-1,m)

= C(n+m,m)

现在就是要求C(n+m,m) % p,其中p是素数。

然后利用Lucas定理的模板就可以轻松的求得C(n+m,m) % p的值

PS：因为P较小，所以可以用阶乘预处理。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=1e5+5;
LL fac[N]={1};
void GetFactor(LL mod)
{
    for(int i=1; i<=mod; i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
LL quickpow(LL a,LL b, LL mod){
    LL res=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1) res=res*a%mod;
    return res;
}
LL C(LL n,LL m, LL mod)
{
    if(m>n) return 0;
    return fac[n]*quickpow(fac[m],mod-2, mod)%mod*quickpow(fac[n-m],mod-2, mod)%mod;
}
LL lucas(LL n, LL m, LL mod)
{
    if(!m) return 1;
    return C(n%mod,m%mod, mod)*lucas(n/mod,m/mod, mod)%mod;
}
int main()
{
    int T, n, m, p;cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m>>p;
        GetFactor(p);
        cout<<lucas(n+m,n, p)<<'\n';
    }
    return 0;
}