涡旋电磁波

涡旋电磁波

半径为d的均匀圆阵UCA产生携带轨道角动量波束。每个阵元振幅相同，相位不同。阵元n的方位角为：

$${\phi }_n=\frac{\left(n-1\right)\times 2\pi }{N}$$
阵元n到远场点S的距离R为：
$$R=r-d\times sin\theta \times cos\left(\phi -{\phi }_n\right)$$
总的远场电场表达为：
$$E_{array}=\sum _{n=1}^N\frac{e^{-jkR}}{R}{e}^{jl{\phi }_n}\approx \sum _{n=1}^N\frac{e^{-jkR}}{r}{e}^{jl{\phi }_n}=\frac{e^{-jkr}}{r}\sum _{n=1}^N{e}^{j\left(k\times d\times sin\theta \times cos\left(\phi -{\phi }_n\right)+l{\phi }_n\right)}=\frac{e^{-jkr}}{r}\times N\times j^l{J}_l\left(kdsin\theta \right)\times e^{jl\phi }$$
其中，$l$被称作涡旋电磁波束的模态值。通过改变天线阵列中阵元的馈电相位产生不同模态值得涡旋电磁波。下图为10阵元数+4模态的涡旋电磁波相位方向图和幅度图。

生成涡旋电磁波
N = 10;%阵元数
d = 1; %阵元半径
% theta = linspace(0,pi,N); %俯仰角
% phi = linspace(0,2*pi,N); %方位角
f = 1e9; %频率
c = 3e8;
k = f/c; %波数
z = 20; %距离阵元面得垂直距离
l = 4; %模态数,小于阵元数的一半
%远场电场
x = -5:0.01:5;
y = -5:0.01:5;
E = zeros(1,N);
E_array = zeros(length(x),length(y));
for i = 1:length(x)
    for j = 1:length(y)
        for n = 1:N
            phi_n = (n-1)*2*pi/N;
            r = sqrt((x(i)-d*cos(phi_n))^2+(y(j)-d*sin(phi_n))^2+z^2);
            theta = asin(z/r);%俯仰角
            E(1,n) = exp(-1j*k*r)/r*exp(1j*l*phi_n);
        end
        E_array(i,j) =sum(E); 
    end
end


figure;
subplot(1,2,1);imagesc(x,y,angle(E_array));title('相位');
subplot(1,2,2);mesh(x,y,abs(E_array));title('幅度');

最大模态数$l_{max}$和天线数目N之间的关系应该满足：$$-N/2<l_{max}\le N/2$$
相比传统平面电磁波，涡旋电磁波的相位随着传播距离的增加而呈现旋转的变化：
$$\varphi =kz\pm m\phi$$
假设有K路信号被调制到不同模态的涡旋波上，获得信号：
$$\left\{S_1\left(t\right)\times e^{i{l}_1\phi },S_2\left(t\right)\times e^{i{l}_2\phi },...,S_K\left(t\right)\times e^{i{l}_K\phi }\right\}$$这些信号通过均匀圆形阵列天线发射，空中传播的涡旋波束是K个不同模态的混合OAM波束的叠加。由于不同模态的涡旋电磁波是相互正交的，每个涡旋信号都可以独立传输。通过乘以相反模态的涡旋相位因子$e^{-jl\phi }$可以解调出模态为l的涡旋电磁波。
模态数$l$可以是整数也可以是非整数。任何一个非整数的OAM整数值可以被分解为一组整数模态的线性组合。OAM非整数模态值的分解可以用来设计高维量子通信的编码方案。
$$exp\left(j\alpha \phi \right)=\frac{exp\left(j\pi \alpha \right)sin\left(\pi \alpha \right)}{\pi }\sum _{l=-\infty }^{\infty }\frac{exp\left(jl\phi \right)}{\alpha -l}$$
反射涡旋电磁波的模态值与入射涡旋电磁波的模态值相反。

参考文献：
吴春林，基于OAM 通信系统的关键技术研究（电子科技大学硕士论文）