线性代数之从线性方程组看线性组合

前言：

对于一个线性方程组，我们可以通过画出每条方程所代表的曲线，所有曲线的交点就是该线性方程组的解。这种做法可以看做是对矩阵方程Ax = b 的行解法。如果从列的角度看，就是线性组合了。

例如线性方程组：

写成矩阵的形式就是：

  即 Ax = b

行图像：

首先我们画出方程2x-y=0和-x+2y=0分别代表的直线：

很显然，我们可以看到该方程组的解是(1,2)。这种解法就是从A矩阵的行的角度来分析的。矩阵A每一行都可以画出一条直线，所有直线的交点就是方程组的解。

列图像：

现在我们从列的角度来分析。事实上，我们可以将上面的矩阵方程拆成下面这样:

如何理解这个方程呢？

我们可以把 ，  和  看成向量。所以这里想用和这两个向量来制造出向量。如果从坐标中理解就是：

可以看到，要制造出向量，需要1个 和 2个  ，也就是x = 1, y = 2。

以前学习直角坐标系的时候，我们知道任意的二维向量都可以用 和  这两个基坐标来组合得到，这其实就是线性组合了。只不过现在我们把基坐标换成了和，只要在二维平面内，都可以用这两个向量组合出任意的向量，在这里我们把这两个向量叫做基底。

当然，要能够组合出任意的向量，和 必须不在同一条直线上，这个从图上看很显然。

对于n维向量也是同样的道理，只是比较抽象，没办法用坐标来表示。

利用线性组合求解矩阵与向量的相乘：

有了线性组合的这种想法，在解A*b这种结构的矩阵相乘时就可以利用线性组合的想法了。例如：