【MOOC】数字信号处理-电子科技大学-第二周 - 连续时间信号的数字化处理

2.1连续时间信号的采样

Concepts of sampling

采样（sampling）：指把时间域或空间域的连续量转化成离散量的过程。

采样流程

实际的连续时间信号的数字化处理过程：

将上述过程的一些部分理想化后，可得 理想的连续时间信号的数字化处理过程：

如何采样

简单来说，采样就是通过一定的“节拍”，有规律地取连续信号的一些离散的点的过程。下图所示的是 用Ts的采样间隔来对连续时间信号x(t)进行采样得到离散时间信号x[n]的过程。

更为专业地描述为：

注：在实际电路中，可通过 使用电流脉冲δ(t)对电容器充电 来使得转换为。

在数学上，则可这样描述：

而若使用不同的采样间隔，得到的离散时间信号也是不同的：

可以看到，采样点较为密集的可更准确地反映原信号的“分布”规律。那么，自然就有一个问题，如何选取采样频率呢？在回答这个问题之前，我们得先分析一下采样之后，信号在频域上的变化。

Effect of frequency domain

由《信号与系统》的知识可以知道：信号在时域为离散的，则在频域为连续周期的；在时域的乘积等价于频域的卷积。
那么，则有：

当采样角频率大于等于两倍的原型号的角频率时：

可看到，在频域上，采样得到的信号是原信号的“周期化”，信号没有发生重叠现象。

而当采样角频率小于两倍的原型号的角频率时：

可看到，信号发生了重叠的现象。下面引入奈奎斯特定理来解决该问题。

Sampling (Nyquist) theory

要使得采样后的信号没有出现重叠现象，采样角频率需满足：

这也是为什么在刚开始介绍的采样流程时，在实际采样之前，需先让信号通过一个抗混叠滤波器的原因，该滤波器的最高角频率被约束在了，从而保证了采样时信号不会发生混叠现象。

Frequency Terms

这里给出常用的一些符号的说明。当对某些符号的意思不明白时可来查询该表。

符号	名称	单位
f	frequency(频率)	Hz, cycles/sec
Ω (= 2πf)	angular frequency(角频率)	rad./sec
Fs	sampling frequency(采样频率)	Hz, sample/sec
Ts (= 1/Fs)	sampling interval(采样间隔)	Sec., sec./sample
ω (= ΩTs)	(normalized)digital angular frequency(数字化角频率)	rad./sample

Example

考虑一个3HZ的信号：

对其进行采样，采样频率Fs = 10 Hz（即Ts = 0.1s），可得：

两者在时域的图像为：

在频域的图像为：

测验题

注：第二题中，采样频率f要满足：f>x(t)信号的最大频率的2倍

课堂讨论题

信号从连续变为离散的现象是如何产生和实现的？
讨论要求：
（1）信号从连续变为离散时域是如何实现的？请用表达式进行说明。
（2）信号从连续变为离散频域会发生什么变化？请推导这种变化产生的原因。
（3）根据第（2）中得出的结论，说明采样频率的选取原则。

2.2离散时间信号

Basic discrete signals

Basic operations

Elementary Operations

Combination of Elementary Operations

测验题

2.3连续时间信号的恢复

信号可恢复的条件：满足奎奈斯特定理

信号采样与恢复的流程大致如下：

原信号被采样后送至低通滤波器，得到恢复的信号。

这里需要关注的就是：低通滤波器所起的作用：采样得到的离散信号在频域上是连续周期的，使用低通滤波器就可得到一个周期内信号在频域的取值，根据单个周期的频域值利用 傅里叶反变换 就可得到原来的连续信号。（需仔细理解该图中箭头的含义）

对于低通滤波器对应的系统函数，可得到其在时域上的表达式为：

这就是有名的 抽样函数。

时域和频域的图像如下：

从图中可以看到，对于hr(t)，对于t=n*Ts，当且仅当n=0，即t=0时，hr(t)才为1，当n取其他值时，hr(t)=0。对应下面的公式，当t=n*Ts时t-n*Ts才为0，即是说在当前采样点上的值为1，在其他采样带点上的值为0。（实际上，这类信号也被称为 内插信号，因此 信号恢复过程即是内插过程）

信号恢复的示意过程：

当n=0:

当n=-1、0、1：

当n=-2、-1、0、1、2：

当n的范围增大

再增大

可以看到，对于n从负无穷到正无穷，内插的结果会逼近原信号。这便是信号恢复的过程。

下面就信号可恢复的条件（满足奎奈斯特定理）举个例子。

假设有如下3个信号：

以 Fs = 10 Hz, 即Ts =0.1s进行采样，得到：

可以发现，三者采样后得到的点的结果是一样的。

在频域上可以发现，后面两个信号不满足奎奈斯特定理。

2.4 ADC中的有限字长效应

暂略