matlab在DSP中的应用（五）---离散傅里叶变换DFT

一、实验目的

(1)加深对离散傅里叶变换(DFT)基本概念的理解

(2)了解有限长序列傅里叶变换(DFT)与离散时间傅里叶变换(DTFT)的联系

(3)掌握用MATLAB语言进行离散傅里叶变换和逆变换的方法

二、实验原理

1.有限长序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)

在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为:

从离散傅里叶变换定义式可以看出，有限长序列在时域上是离散的，在频域上也是离散的。式中 ，即仅在单位圆上N个等间距的点上取值，这为使用计算机进行处理带来了方便。

由有限长序列的傅里叶变换和逆变换定义可知，DFT和DFS的公式非常相似，因此在程序编写上也基本一致。

例1：已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT和IDFT。要求：

(1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg［X(k)］图形。

(2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT［X(k)］图形进行比较。

代码：

xn=0:7;%信号
N=length(xn);
n=0:N-1;
k=0:N-1;
Xk=xn*exp(-1j*2*pi/N).^(n'*k);%DFT
x=(Xk*exp(1j*2*pi/N).^(n'*k))/N;%IDFT
subplot(4,1,1),stem(n,xn);%显示原序列
title('x(n)')

subplot(4,1,2),stem(n,abs(x));%显示逆变换结果
title('IDFT|X(k)|')

subplot(4,1,3),stem(n,abs(Xk));%显示|X(k)|
title('X(k)')

subplot(4,1,4),stem(k,angle(Xk));%显示显示arg|X(k)|
title('arg|X(k)|')

输出：

2.有限长序列DFT与离散时间傅里叶变换DTFT的联系

离散时间傅里叶变换(DTFT)是指信号在时域上为离散的，而在频域上则是连续的。

如果离散时间非周期信号为x(n)，则它的离散傅里叶变换对(DTFT)表示为：

与有限长序列相比，X(e^(jw))仅在单位圆上取值，X(k)是在单位圆上N个等间距的点上取值。因此，连续谱X(e^(jw))可以由离散谱X(k)经插值后得到。

例2：求x(n)＝［0，1，2࿰