11、汉诺塔问题的深入探讨

汉诺塔问题的深入探讨

1. 经典汉诺塔问题相关结论

在经典汉诺塔问题中，有诸多有趣的结论。对于图 (X_n) 的直径，存在一个下界，其至少为 (2\cdot2^n)。这一结论源于 Šunić 的研究，他指出对于任务 (0^n \to 0^{n - 1}1 \parallel 0^{n - 1}1 \to 0^{n - 1}2)，当 (n \geq 3) 时，最优解恰好需要 (2 \cdot 2^n) 步移动，但 (n = 2) 时并不满足此规律，如图 2.28 所示，(n = 2) 的解需要 6 步移动。

另外，对于任务 (0^n \to 2^n \parallel 2^n \to 0^n)，有研究构造出一种解法，该解法对于任意 (n \geq 2) 需要 (\frac{1}{3}(2^{n + 2} - (-1)^n)) 步移动，并且猜想这个移动步数是最优的。

2. 经典汉诺塔问题的练习

这里给出了一系列关于经典汉诺塔问题的练习，这些练习有助于深入理解汉诺塔问题的各种性质和算法：
1. 验证方程 (2.1)。
2. 不参考格罗斯序列证明命题 2.2。
3. 证明奥利弗算法的正确性。
4. 证明序列 (h) 和 (o) 都不是强无平方因子的。
5. 利用命题 2.3 描述一个从 peg 0 上的塔到 peg 2 上的塔的最短路径的人类算法，该算法不需要大量的长期记忆。
6. 已知斐波那契数 (F_0 = 0)，(F_1 = 1)，(F_k = F_{k - 1} + F_{k - 2})（(k \geq 2)），设 (a_n) 为经典汉诺塔问题中 (n) 个圆盘的最优解里中间 peg 上圆盘的合法