12、有向循环图与结构方程模型的深入剖析

有向循环图与结构方程模型的深入剖析

1. 引言

在因果关系和统计建模领域，有向循环图（Directed Cyclic Graphs，DCGs）和结构方程模型（Structural Equation Models，SEMs）是重要的研究对象。它们在描述变量之间的因果关系、独立性以及数据生成过程等方面具有重要作用。本文将详细探讨有向循环图和结构方程模型的相关概念、性质以及它们之间的联系。

2. 结构方程模型基础

2.1 变量分类

结构方程模型中的变量可分为两类：“误差变量”（或“误差项”）和“实质变量”。对于每个实质变量 (X_i)，都有一个方程与之对应，方程左边是 (X_i)，右边是 (X_i) 的直接实质原因加上误差项 (e_i)，其中 (e_i) 表示除实质原因之外的所有原因的综合影响。对于外生实质变量 (X_i)，我们写成方程 “(X_i = e_i)”，这种表示方式虽不标准，但能赋予误差项统一且特殊的地位，作为系统随机变化的外生来源。

2.2 路径图

每个结构方程模型都关联着一个图，在结构方程模型文献中称为“路径图”。当且仅当在相应的结构方程中 (X_j) 是 (X_i) 的函数时，在关联的路径图中存在从 (X_i) 到 (X_j) 的有向边。路径图允许有向循环的存在。

2.3 分布关联

通过为外生变量分配概率分布，可以为结构方程模型关联一个分布，这反过来又决定了所有变量的联合分布。一般情况下，误差项不包含在结构方程模型的路径图中，除非该误差项依赖于其他误差项。如果两个误差项相互依赖，则将它们包含在路径图中，并通过双向边（“↔”）连接。也就是说，除非在路径图中