3、镜像承诺：修复“随机部分检查”及其应用

镜像承诺：修复“随机部分检查”及其应用

1. 基础定义与引理

首先，对于混合服务器条目 (x_i) 和 (x_j)，我们有如下定义：
- 定义 1 ：如果 (M_t) 是第一个在同一步骤对条目 (x_i) 和 (x_j) 都进行审计的混合服务器，我们记 (Mat(x_i, x_j) = t)。这里被服务器 (M_k) 审计意味着 (x_i) 和 (x_j) 被分配了相同的审计位。若条目 (x_i) 和 (x_j) 在 (M_t) 中被审计，那么这些条目是混合的，仅观察已揭示链接的人无法知道它们的相对顺序。
- 引理 2 ：对于任意条目 (x_i) 和 (x_j)，它们在第 (k) 个混合服务器中首次混合的概率等于 (\frac{1}{2^k})，即 (P(Mat(x_i, x_j) = k) = \frac{1}{2^k})。
- 引理 3 ：设 (r) 为混合服务器的数量，(n) 为处理条目的数量。如果 (\binom{n}{2} \geq 2^r)，那么很可能存在一对条目 (i, j \in {1, \ldots, n})，使得 (Mat(x_i, x_j) > r)。该引理的证明基于生日悖论。

我们用 (RPC_{r,n}) 表示通过 (r) 个混合服务器的 RPC 级联处理 (n) 条消息并结合已打开链接的知识得到的随机排列。用 (L(RPC_{k,n})) 表示步骤 (k \leq r) 时方案的分布，用 (U(S_n)) 表示 (n) 个元素的排列集合 (S_n) 上的均匀分布。两个分布 (\mu) 和 (\nu) 在共同有限状态空间 (E