11、将物理学与深度学习结合用于连续时间动力学模型

将物理学与深度学习结合用于连续时间动力学模型

1. 引言

近年来，深度学习在机器人学中的应用展示出了巨大的潜力。深度网络能够高保真地模拟任意复杂的动态，但由于其黑箱特性，难以确保物理一致性，也无法解释学习到的模型。相比之下，基于物理学的传统方法能够保证模型的物理合理性，但往往需要大量的手动推导和参数化。为了解决这些局限性，物理学启发的深度网络应运而生。这类方法结合了深度学习的灵活性和物理学的结构性，使得模型既能保持物理一致性，又能处理复杂的现实世界任务。

2. 深度拉格朗日网络 (DeLaN)

深度拉格朗日网络（DeLaN）是物理学启发的深度网络的一个实例。DeLaN将质量矩阵 ( H ) 和势能 ( V ) 参数化为两个独立的深度网络，从而利用拉格朗日力学来推导运动方程。通过这种方式，DeLaN不仅能够学习物理上合理的动态模型，还能保持能量守恒。

2.1 DeLaN的结构

DeLaN的核心思想是使用两个深度网络来分别预测系统的动能和势能。具体来说，拉格朗日量 ( L ) 可以表示为：

[ L(q, \dot{q}) = T(q, \dot{q}) - V(q) = \frac{1}{2} \dot{q}^T H(q) \dot{q} - V(q) ]

其中 ( T ) 是动能，( V ) 是势能，( H(q) ) 是质量矩阵。这两个网络的参数通过最小化欧拉-拉格朗日微分方程的平方残差来学习：

[ \psi^ , \phi^ = \arg \min_{\psi, \phi} \left| \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\