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linjiayang2016

已于 2022-08-23 21:03:38 修改

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分类专栏：并查集文章标签：并查集

于 2019-10-23 08:33:57 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/linjiayang2016/article/details/102694468

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本文介绍了一种处理森林连通块直径问题的算法，通过并查集维护连通信息，利用DFS遍历求出每个连通块的直径，再通过特定公式计算合并后的连通块直径。适用于大规模数据处理，时间复杂度为Θ(nlog2n)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

　　给定一个森林，边权为1，支持以下两种操作
　　 $\texttt{1 x y}$ 　若节点x和节点y不在同一个连通块内，你需要在节点x所在连通块和节点y所在的连通块中分别找一个点，连接一条边权为1的边，使得最终的连通块内的直径尽量长。
　　 $\texttt{2 x}$ 　输出节点x所在连通块中的直径长度。
　　数据范围　 $1\leqslant n\leqslant 3\times 10^5$

题解

　　先求出每个连通块内的直径长度，然后用并查集维护联通信息，对于操作2，，我们考虑连接两个连通块各自的直径的重点，则可以发现，最终得到的直径长度不会超过
$\left\lceil\frac{diameter[ancestor[x]]}{2}\right\rceil+\left\lceil\frac{diameter[ancestor[y]]}{2}\right\rceil+1$ 　　用上式和 $d iam e t er [an ces t or [x]], d iam e t er [an ces t or [y]]$ 取最大值即可。时间复杂度为 $\Theta(n\alpha(n))$ ，下面的代码没有使用按秩合并，因而时间复杂度为 $\Theta(n\log_2 n)$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 300010
struct edge{
	int v,next;
}edges[maxn<<1];
int n,m,q,head[maxn];
void ins(int u,int v){
	static int cnt=0;
	edges[++cnt]=(edge){v,head[u]};
	head[u]=cnt;
}
int f[maxn],g[maxn],vis[maxn];
void dfs(int u,int fa=-1){
	vis[u]=true;
	for(int i=head[u];i;i=edges[i].next){
		int v=edges[i].v;
		if(v==fa||vis[v]) continue;
		dfs(v,u);
		f[u]=max(f[u],g[v]+g[u]+1);
		f[u]=max(f[u],f[v]);
		g[u]=max(g[u],g[v]+1);
	}
}
int fa[maxn];
int find(int x){
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		ins(u,v);ins(v,u);
		int fx=find(u),fy=find(v);
		if(fx!=fy) fa[fx]=fy;
	}
	for(int u=1;u<=n;u++){
		int fu=find(u);
		if(!vis[fu]) dfs(fu);
	}
	for(int i=1,op;i<=q;i++){
		scanf("%d",&op);
		if(op==1){
			int x; scanf("%d",&x);
			printf("%d\n",f[find(x)]);
		}else{
			int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
			int fx=find(x),fy=find(y);
			if(fx!=fy){
				f[fx]=max((f[fx]+1>>1)+(f[fy]+1>>1)+1,max(f[fx],f[fy]));
				fa[fy]=fx;
			}
		}
	}
	return 0;
}