JZOJ4391. 【GDOI2016模拟3.16】装饰

最新推荐文章于 2019-08-18 21:22:57 发布

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#组合数

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本文介绍了一种使用组合数学解决特定计数问题的方法。通过引入虚拟的第三行，并利用组合公式进行计算，解决了两行颜色配置方案的问题。文章详细解释了如何通过枚举和组合计算得出最终的答案。

这里写图片描述

题解

题目要求两行的方案数，
那假设它存在第三行，
它的颜色就是除了上面两种颜色之外剩下的颜色。

假设知道了第三行的方案数，
那么答案就是这个方案数*2。
考虑如何求出第三行的方案数，
假设开头颜色为X，其数量为x，
那么两两相邻的X可以将这个第三行分成x段或者x-1段（最后是否以X结尾）。

假设第三行被分成了g段，
再枚举一个e，表示长度为偶数的段数。
那么也就是说有g-e段的长度为奇数。
设在这些长度为奇数的段中，开头为Y的有oy个，开头为Z的有oz个。
可以知道它们之间要满足的关系试。
oy+oz=g-e（开头总数等于奇数段数）
y-oy=z-oz（出去开头剩下的Y,Z需要两两配对）
有了这些就可以算现在的方案数：
oy个Y开头放在g-e个长度奇数的段中： $C^{oy}_{g-e}$
e个偶数段在g个段中： $C^{e}_{g}$
剩下的Y（Z）放在g个段中： $C^{y-oy-e}_{y-oy-e+g-1}$ （隔板问题）
每一个偶数段的开头，为Y或者X： $2^e$
把这些全部乘起来就可以了。

code

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string.h>
#include <cmath>
#include <math.h>
#include <time.h>
#define ll long long
#define N 1000003
using namespace std;

const int mo=1000000007;
ll jc[N],ny[N],ans;
int m,r,g,b;

ll ksm(ll x,int y)
{
    ll s=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x%mo)
        if(y&1)s=s*x%mo;
    return s;
}

ll C(int x,int y)
{
    if(x>y)return 0;
    return jc[y]*ny[x]%mo*ny[y-x]%mo;
}

void calc(int g,int e,int y,int z)
{
    if(((g-e+y-z)&1) || ((g-e+z-y)&1))return;
    int oy=(g-e+y-z)>>1,oz=(g-e+z-y)>>1,r=y-e-oy;
    if(oy<0 || oz<0)return;
    ans=(ans+C(g-1,r+g-1)*C(e,g)%mo*C(oy,g-e)%mo*ksm(2,e)%mo)%mo;
}

void work(int x,int y,int z)
{
    int g=x;
    for(int e=0;e<=g;e++)
        calc(g,e,y,z);
    g=x-1;
    for(int e=0;e<=g;e++)
        calc(g,e,y,z);
}

int main()
{
    ans=jc[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
        jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
    ny[N-1]=ksm(jc[N-1],mo-2);
    for(int i=N-1;i;i--)
        ny[i-1]=ny[i]*i%mo;

    scanf("%d%d%d%d",&m,&r,&g,&b);

    r=m-r;g=m-g;b=m-b;

    ans=0;
    work(r,g,b);
    work(g,r,b);
    work(b,g,r);
    printf("%lld",ans*2%mo);

    return 0;
}