HDU-5015 233 Matrix

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂解决特定递推问题的方法，并提供了完整的C++代码实现。通过构建适当的矩阵并利用快速幂算法，可以高效地求解给定递推关系中的第m项。

题目链接

给定n，m和n个第一列的数，根据题目给的关系求 $a_{n,m}$ 。

第一列元素： $\begin{bmatrix} 0\\ a_{1}\\ a_{2}\\ ...\\ a_{n}\\ \end{bmatrix}$ 转化为： $\begin{bmatrix} 23\\ a_{1}\\ a_{2}\\ ...\\ a_{n}\\ 3 \end{bmatrix}$ 第二列元素： $\begin{bmatrix} 23*10+3\\ 23*10+3+a_{1}\\ 23*10+3+a_{1}+a_{2}\\ ...\\ 23*10+3+a_{1}+...+a_{n}\\ 3 \end{bmatrix}$ ，

把每行加的3看作前一列最后一行的3*1构成，所以根据递推关系可得矩阵A：

$\begin{bmatrix} a_{0,m}\\ a_{1,m}\\ a_{2,m}\\ :\\ a_{n,m}\\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 & 0 &... &1 \\ 10 & 1& 0 &0 & ...&1 \\ 10& 1& 1& 0 & ...&1 \\ :& :& : & : &: &: \\ 10 &1 & 1 & 1& ...&1 \\ 0 & 0& 0 &0 & ...& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{0,m-1}\\ a_{1,m-1}\\ a_{2,m-1}\\ ...\\ a_{n,m-1}\\ 3 \end{bmatrix}=...=\begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 & 0 &... &1 \\ 10 & 1& 0 &0 & ...&1 \\ 10& 1& 1& 0 & ...&1 \\ :& :& : & : &: &: \\ 10 &1 & 1 & 1& ...&1 \\ 0 & 0& 0 &0 & ...& 1 \end{bmatrix}^{m}\begin{bmatrix} a_{0}\\ a_{1}\\ a_{2}\\ :\\ a_{n}\\ 3 \end{bmatrix}$

再利用矩阵快速幂求解即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e7+7;
int N;

struct matrix{
	ll x[15][15];
};

matrix multi(matrix a,matrix b)//矩阵相乘
{
	matrix tmp;
	memset(tmp.x,0,sizeof(tmp.x));
	for(int i=1;i<=N;i++)
		for(int j=1;j<=N;j++)
			for(int k=1;k<=N;k++)
			{
				tmp.x[i][j]+=a.x[i][k]*b.x[k][j];
				tmp.x[i][j]%=mod;
			}
	return tmp;
}

matrix quick_multi(matrix a,ll k)//矩阵快速幂
{
	matrix tmp=a;
	k--;
	while(k){
		if(k&1)
			tmp=multi(tmp,a);
		a=multi(a,a);
		k>>=1;
	}
	return tmp;
}

int main(){
	ll n,m;
	ll a[15];
	while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){
		a[1]=23;a[n+2]=3;
		for(int i=2;i<=n+1;i++)
			scanf("%lld",&a[i]);
			
		N=n+2;matrix A;
		memset(A.x,0,sizeof(A.x));
		for(int i=2;i<=n+1;i++)
			for(int j=2;j<=i;j++)
				A.x[i][j]=1;	
		for(int i=1;i<=n+2;i++)
			A.x[i][n+2]=1;
		for(int i=1;i<=n+1;i++)
			A.x[i][1]=10;
			
//		for(int i=1;i<=N;i++){
//			for(int j=1;j<=N;j++)
//				printf("%d ",A.x[i][j]);
//			printf("\n");
//		}
		
		matrix ans;
		for(int i=1;i<=N;i++)
			for(int j=1;j<=N;j++)
				ans.x[i][j]=0;
		for(int i=1;i<=N;i++)
			ans.x[i][i]=1;
		
		A=quick_multi(A,m);
		ans=multi(ans,A);	
		ll res=0;
		for(int i=1;i<=n+2;i++)
			res=(res+ans.x[n+1][i]*a[i])%mod;
		
		printf("%lld\n",res);
	}
	return 0;
}