[HDU-6314]Matrix题解

f[i][j]表示恰好有i行j列为黑色g[i][j]表示一个i行j列的矩阵染色满足每一行每一列至少有一个白色格子的方案数f[i][j] 表示恰好有 i 行 j 列为黑色 \\ g[i][j] 表示一个 i 行 j 列的矩阵染色满足每一行每一列至少有一个白色格子的方案数f[i][j]ijg[i][j]ij


转移:

f[i][j]=(ni)(mj)×g[n−i][m−j] f[i][j] = \binom{n}{i} \binom{m}{j} \times g[n - i][m - j] f[i][j]=(in)(jm)×g[ni][mj]

意义:在 n×mn \times mn×m 的矩阵中分别在 nnn 行中选 iii 行和在 mmm 列中选 jjj 列全部染成黑色,然后剩余部分染色不能出现一行黑或一列黑,这时我们可以如下图所示,把选择的行列去掉再拼合起来,剩余部分染色不出现一行黑或一列黑的方案数即拼合后的矩阵不出现一行黑或一列黑。

在这里插入图片描述

g[i][j]=∑x=0i∑y=0j(−1)x+y2(i−x)×(j−y)(ix)(jy)g[i][j] = \sum_{x = 0}^{i} \sum_{y = 0}^{j} (-1)^{x + y}2^{(i - x) \times (j - y)}\binom{i}{x} \binom{j}{y}g[i][j]=x=0iy=0j(1)x+y2(ix)×(jy)(xi)(yj)

意义:

考虑选择 rrr 行,ccc 列全为黑的这一类染色方案受到的贡献。

对于一种具体的方案,容斥中对它的贡献(系数)如下式。

[r≠0]or[c≠0][r \neq 0] or [c \neq 0][r=0]or[c=0]

     ∑p=0r∑q=0c(−1)p+q(rp)(cq)=∑p=0r(rp)∑q=0c(−1)p+q(cq)=∑p=0r(rp)×0=0\begin{aligned} & \ \ \ \ \ \sum_{p = 0}^{r}\sum_{q = 0}^{c}(-1)^{p + q}\binom{r}{p}\binom{c}{q} \\ &= \sum_{p = 0}^{r} \binom{r}{p} \sum_{q = 0}^{c} (-1)^{p + q} \binom{c}{q} \\ &= \sum_{p = 0}^{r}\binom{r}{p} \times 0 \\ &= 0 \end{aligned}     p=0rq=0c(1)p+q(pr)(qc)=p=0r(pr)q=0c(1)p+q(qc)=p=0r(pr

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值