Description
描述
到海边了呢…
如果没有那次选择,现在是不是会好些呢…
都过去了。
仰望着星空,迎面吹过一阵阵海风,倚靠着护栏,Fine 在海边静静地伫立着,在一个个无际的长夜后,Fine 终于放下了往事的痛楚,得到了治愈。
但是作为 Fine 的另一重人格的 Falsita 就没那么幸运了。她仍然被各种繁忙的事务困扰着。
虽然同在一副躯体中,Fine 与 Falsita 的精神世界却相差甚远,Fine 可以轻易地构造出幻梦时,Falsita 却只能停留在现实的痛楚中。
但是为了生活需要,她们还是需要经常达成共识。
让我们形式化的描述一下吧。
她们所在的精神世界是一棵以 1 号节点为根的树,每个树上的节点 u 都有一个权值Wu,她们每个人分别都在一个节点上,达成共识的方法就是两个人都到达一个共识节点(即到达它们的最近公共祖先)。
一个点 u 与另外一个点 v 之间想要达到共识需要花费的代价为Wu+Wv。
有时两人的精神有所触动时,有时点的权值会改变成某个数,有时以某个点的子树中的所有点的权值会加上某个数。
Falsita 和 Fine 经常需要达成共识,每一次询问,已知达成的共识节点,求她们花费的期望代价。
Input
输入共 m + 3 行。
第一行两个整数 n, m ,表示节点个数和操作数。
第二行 n - 1 个整数Pi,表示节点 i ( i = 2 . . . n ) 的父亲节点的编号。
第三行 n 个整数Wi。
接下来 m 行,每行表示一个操作。
- S u delta 表示将节点 u 的权值加上 delta 。
- M u delta 表示将以节点 u 为根的子树中的所有节点的权值加上 delta。
- Q u 表示询问共识节点为 u 时的答案。
询问保证 u 不是叶子节点。
Output
对于每组询问,输出答案,答案精确到小数点后 6 位。
你的程序输出的答案需要与标准答案之差不超过10^(-5)。
Sample Input
4 6
1 2 2
0 -6 3 0
S 2 -5
M 3 8
S 1 -1
M 4 7
M 3 2
Q 1
Sample Output
2.000000
HINT
前5个操作后,四个节点的权值分别为-1,-11,13,7。最近公共祖先为1的点对有(1,2),(1,3),(1,4),权值和分别为-12,12,6,故答案为(-12+12+6)/3=2。
对于 100% 的数据,1 ≤ n, m ≤ 300000, 0≤ |delta|, |Wi|≤ 20000。
分析:
设val[x]val[x]val[x]为节点xxx的权值,sum[x]sum[x]sum[x]为xxx子树内权值的和,size[x]size[x]size[x]表示xxx子树的大小,对于每一个节点xxx来说,
ans[x]=val[x]∗(size[x]−1)+∑y∈son[x]sum[y]∗(size[x]−size[y])ans[x]=val[x]*(size[x]-1)+\sum_{y\in son[x]}sum[y]*(size[x]-size[y])ans[x]=val[x]∗(size[x]−1)+y∈son[x]∑sum[y]∗(size[x]−size[y])
对于关于xxx的单点修改,xxx的答案值改变了delta∗(size[x]−1)delta*(size[x]-1)delta∗(size[x]−1),直接可以线段树修改;而对于他的祖先iii,每个节点改变了delta∗(size[i]−size[j])delta*(size[i]-size[j])delta∗(size[i]−size[j]),其中jjj是iii在链上儿子。
由于每次的size[j]size[j]size[j]不一定相同,无法直接打标记;而一个节点的儿子很多,记录关于每一个儿子的贡献也不可行。于是可以想到树链剖分,只记录重儿子的贡献。
具体来说,对于每一个节点记录一个r[i]=size[i]−size[hson[i]]r[i]=size[i]-size[hson[i]]r[i]=size[i]−size[hson[i]],线段树上每个节点iii的值维护成sum1+r[i]∗sum2sum_1+r[i]*sum_2sum1+r[i]∗sum2的形式。对于一个修改,每段链的最深的点直接修改sum1sum_1sum1,而链上直接区间加sum2sum_2sum2。
而对于子树修改,子树内的所有点的期望值增加了2∗delta2*delta2∗delta,多开一个树状数组维护一下,然后剩下的就是子树的根到根的路径修改,方法同上,不过值变成了size[x]∗deltasize[x]*deltasize[x]∗delta。
复杂度是O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)的。
代码:
/**************************************************************
Problem: 3683
User: ypxrain
Language: C++
Result: Accepted
Time:8092 ms
Memory:79160 kb
****************************************************************/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
const int maxn=3e5+7;
using namespace std;
LL n,m,x,y,cnt;
LL ls[maxn],a[maxn];
LL dfn[maxn][2],top[maxn],size[maxn],fa[maxn],r[maxn];
LL num[maxn];
double ans;
char op[5];
struct node{
LL l,r;
LL data1,data2;
}t[maxn*4];
struct edge{
LL y,next;
}g[maxn];
struct treearray{
LL t[maxn];
void updata(LL x,LL k)
{
for (LL i=x;i<=n;i+=i&(-i)) t[i]+=(LL)k;
}
LL getsum(LL x)
{
LL sum=0;
for (LL i=x;i>0;i-=i&(-i)) sum+=t[i];
return sum;
}
void ins(LL l,LL r,LL k)
{
updata(l,k);
if (r<n) updata(r+1,-k);
}
}A;
void dfs1(LL x,LL F)
{
size[x]=1;
fa[x]=F;
for (LL i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
{
LL y=g[i].y;
if (y==F) continue;
dfs1(y,x);
num[x]+=(LL)size[x]*(LL)size[y];
size[x]+=size[y];
}
}
void dfs2(LL x,LL F)
{
dfn[x][0]=dfn[x][1]=++cnt;
top[x]=F;
LL c=0;
for (LL i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
{
LL y=g[i].y;
if (y==fa[x]) continue;
if (size[y]>size[c]) c=y;
}
if (!c) return;
dfs2(c,F);
dfn[x][1]=dfn[c][1];
r[x]=size[x]-size[c];
for (LL i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
{
LL y=g[i].y;
if ((y==fa[x]) || (y==c)) continue;
dfs2(y,y);
dfn[x][1]=dfn[y][1];
}
}
void ins(LL p,LL l,LL r,LL x,LL y,LL k1,LL k2)
{
if ((l==x) && (r==y))
{
t[p].data1+=k1;
t[p].data2+=k2;
return;
}
LL mid=(l+r)/2;
if (y<=mid) ins(p*2,l,mid,x,y,k1,k2);
else if (x>mid) ins(p*2+1,mid+1,r,x,y,k1,k2);
else
{
ins(p*2,l,mid,x,mid,k1,k2);
ins(p*2+1,mid+1,r,mid+1,y,k1,k2);
}
}
LL getsum(LL p,LL l,LL r,LL x,LL k)
{
if (l==r) return t[p].data1+t[p].data2*(LL)k;
LL mid=(l+r)/2;
if (x<=mid) return getsum(p*2,l,mid,x,k)+t[p].data1+t[p].data2*(LL)k;
else return getsum(p*2+1,mid+1,r,x,k)+t[p].data1+t[p].data2*(LL)k;
}
void change(LL x,LL delta)
{
while (top[x]!=1)
{
if (x!=top[x]) ins(1,1,n,dfn[top[x]][0],dfn[fa[x]][0],0,delta);
ins(1,1,n,dfn[fa[top[x]]][0],dfn[fa[top[x]]][0],(LL)delta*(size[fa[top[x]]]-size[top[x]]),0);
x=fa[top[x]];
}
if (x!=1) ins(1,1,n,1,dfn[fa[x]][0],0,delta);
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for (LL i=1;i<n;i++)
{
scanf("%lld",&x);
g[i].y=i+1;
g[i].next=ls[x];
ls[x]=i;
}
for (LL i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
dfs1(1,0);
dfs2(1,1);
for (LL i=1;i<=n;i++)
{
ins(1,1,n,dfn[i][0],dfn[i][0],(LL)a[i]*((LL)size[i]-1),0);
change(i,a[i]);
}
for (LL i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%s",op);
if (op[0]=='S')
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
ins(1,1,n,dfn[x][0],dfn[x][0],(LL)y*((LL)size[x]-1),0);
change(x,y);
}
if (op[0]=='M')
{
scanf("%lld%lld",&x,&y);
A.ins(dfn[x][0],dfn[x][1],y*2);
change(x,(LL)size[x]*(LL)y);
}
if (op[0]=='Q')
{
scanf("%lld",&x);
ans=(double)getsum(1,1,n,dfn[x][0],r[x])/(double)num[x]+(double)A.getsum(dfn[x][0]);
printf("%.6lf\n",ans);
}
}
}