leetcode 1680. Concatenation of Consecutive Binary Numbers（连接连续的二进制数）

Given an integer n, return the decimal value of the binary string formed by concatenating the binary representations of 1 to n in order, modulo 10⁹ + 7.

Example 1:

Input: n = 1
Output: 1
Explanation: “1” in binary corresponds to the decimal value 1.
Example 2:

Input: n = 3
Output: 27
Explanation: In binary, 1, 2, and 3 corresponds to “1”, “10”, and “11”.
After concatenating them, we have “11011”, which corresponds to the decimal value 27.

把1~n的二进制数从左到右连接起来（像字符串连接那样），拼成的十进制数是多少（取模后）。
mod = 10⁹+7

思路：

这是一个二进制数操作的问题。
首先是把1～n转为二进制数，然后像字符串连接那样连接它们，然后转为十进制数，每转一个数取一次模。

问题就出在1～n怎么转成二进制数，怎么连接，怎么再转为十进制数。

其实最终反正是十进制数，那直接把1～n的十进制数相加不就好了，
问题是每相加一次需要向左移位，才能加下一个。
那么要移多少位呢？
比如2 是10，需要左移2位，4是100，需要左移3位。

怎么计算需要移的位数？
两种方法：
一是用以2为底的log计算，比如log(2)=1，需要左移log(2)+1位，
4也是一样，左移log(4)+1=3位。
二是利用2的幂一定满足 i & (i-1) = 0这个条件，每满足一次，bit位+1，
比如2， 先是1 & (1-0) =0, bit=1, 然后2&（2-1）=0，bit++变为2, 4&(4-1)=0, bit++变为3

所以，思考的关键在于将二进制数的拼接和转十进制数的问题 转化为左移bit位之后再直接加十进制数。

用log计算左移位数：

public int concatenatedBinary(int n) {
    long res = 0;
    int mod = 1000000007;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int bitCnt = (int)(Math.log(i) / Math.log(2)) + 1;
        res = (((res << bitCnt) % mod) + i) % mod;
    }
    
    return (int)res;
}

用 i & (i-1) 计算bit位数：

public int concatenatedBinary(int n) {
    long res = 0;
    int mod = 1000000007;
    int bitCnt = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if((i & (i-1)) == 0) bitCnt ++;
        res = (((res << bitCnt) % mod) + i) % mod;
    }
    
    return (int)res;
}