洛谷P1072 HanksonHanksonHankson 的趣味题

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本文详细解析了一道算法竞赛题目，通过三种不同的方法探讨了解题思路，包括枚举倍数、枚举因子以及利用质因数唯一分解定理和gcd、lcm性质进行分析。每种方法都提供了完整的代码实现，帮助读者深入理解并掌握算法技巧。

这个题目很早前做了

第一种方法，x一定是a1得倍数，枚举这个倍数，函数work得分50.

第二种方法，x一定是b1得因子，枚举这些因子（sqrt），work2，得分100.

#include<iostream>
using namespace std;
int a0,a1,b0,b1;
int gcd(int a,int b) {
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int lcm(int a,int b) {
    return a/gcd(a,b)*b;
}
int work() {
    int ans=0;

    if(b1%a1!=0) {
        return 0;
    }
    for(int i=a1; i<=b1; i+=a1) {//找到a1的倍数，看其是不是b1的因子
        if(b1%i)continue;
        if(gcd(i,a0)==a1&&lcm(i,b0)==b1)ans++;
    }
    return ans;
}
int work2() {//找出b1所有的因子，看其是不是a1的倍数
    int p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0;
    if(b1%a1!=0) {
        return 0;
    }
    for(int x=1; x*x<=b1; x++)
        if(b1%x==0) {
            if(x%a1==0&&gcd(x/a1,p)==1&&gcd(q,b1/x)==1) ans++;
            int y=b1/x;//得到另一个因子
            if(x==y) continue;
            if(y%a1==0&&gcd(y/a1,p)==1&&gcd(q,b1/y)==1) ans++;
        }
    return ans;
}
int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cin>>a0>>a1>>b0>>b1;
        cout<<work()<<endl;
    }

}

方法3：根据唯一分解定理和gcd，lcm得性质，分析每个质因子得取值范围。

//    56 2 96 288——1
//   56 8 96 288 ——2
//p2   3 3 5 5
//p3   0 0 1 2,x最少要有9这个因子，最多也要有9这个因子，如果b0已经有了b1的因子，那么x就可以不用有了。
//p7   b1里面没有的因子就不用考虑了
//由b组数据决定的x值：如果numb1>numb0,x的因子数就确定了。就至少要有numb1个,最多也是numb1个，[numb1,numb1]
//否则numb1==numb0,x就可以在numb1的范围内自由选择了，可以有0~numb1个，numb0==numb1 [0,numb1]
//b 2的因子数可以是0...5，6种情况，而3就只能是9，没得选。
//由a决定的因子数，比如数据1，a至少要有1个2，最多也是由1个2 nuba0>numa1[numa1,numa1]
// 由a决定的因子数，比如数据2，a至少要有3个2，最多就由b组数据来决定。numa0==numa1 [numa1,+OO]
//a的取值范围就是二者的交集，左端点取二者的最大值，右端点取二者的最小值。

 
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int prime[100001],n,size;
bool notprime[100001];
ll ans,a1,b1,a0,b0,numa0,numb0,numa1,numb1,la,ra,lb,rb,l,r;
void init(){
    notprime[1]=true;
    for(int i=2;i<=50000;i++){
        if(!notprime[i])
            prime[++size]=i;
        for(int j=1,k;j<=size;j++){
            k=i*prime[j];
            if(k>50000)break;
            notprime[k]=true;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

int main(){
    init();
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        ans=1;bool ok=true;
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a0,&a1,&b0,&b1);
        if(a1>a0||b1<b0){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        for(int i=1;i<=size;i++){
            if(a0==1&&a1==1&&b0==1&&b1==1)break;
            numa0=numb0=numa1=numb1=0;la=lb=l=0,ra=rb=r=1000000;
            while(a0%prime[i]==0){a0/=prime[i];numa0++;}
            while(b0%prime[i]==0){b0/=prime[i];numb0++;}
            while(a1%prime[i]==0){a1/=prime[i];numa1++;}
            while(b1%prime[i]==0){b1/=prime[i];numb1++;}
            if(numa0<numa1||numb0>numb1){ ok=false;break; }
           
            la=numa1; rb=numb1;
            if(numa0>numa1) ra=numa1;
            if(numb0<numb1) lb=numb1;
            l=max(la,lb);r=min(ra,rb);
            cout<<i<<" pi"<<prime[i]<<" "<<l<<" "<<r<<endl;
            if(r<l){ ok=false;break;}
            ans=(ll)ans*(r-l+1);
        }
        if(!(a0==1&&a1==1&&b0==1&&b1==1)){
            la=lb=l=0,ra=rb=r=1000000;
            if(a1>a0||b1<b0)ok=false;
            if(a1==a0&&a1!=1) ans<<=1;
            if(b1==b0&&b1!=1) ans<<=1;
        }
        if(!ok) ans=0;
        printf("%lld\n",ans);    
    } 
    return 0;
}