P3606 [USACO17JAN]Building a Tall Barn建谷仓

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本文针对USACO铂金组T2题目进行了解析，通过分析得出为使f=a1/b1+a2/b2+...+an/bn最小，需使分母尽可能大且满足b1+b2+...+bn=k。采用二分查找法确定最优分配方案，以实现最小化目标。

usaco 铂金组t2

题目大意：已知的a1，a2,……an，在b1+b2+……+bn=k的条件下，求f=a1/b1+a2/b2……+an/bn的最小值。

题目分析：如果需要f尽量的小，则我们希望分母尽可能大，，而总数有要求限制，那么问题来了，给谁分配多点，给谁分配少点呢？

例如：

3 10
20
5
10的数据情况下。，给每个ai分配y个或（y+1）个人产生不同的差值。令ti=ai/y-ai(y-1)，如果ti>tj,那么，我们从bj调动一个人去bi效果会更优。什么时候达到最优呢？那就是无人可调的情况下，也就是所有的ti尽可能接近的情况！

根据题意，ti越大，需要的人越少，ti越小，需要的人越多，而且题目里面的数据范围是1e12,这么大的数据范围，而且单调，当然用二分答案来做啦。

根据ti=ai/y-ai(y-1)，可以得到y*y+y-ai/ti=0，二分ti，计算y的和，超过k那么范围扩大，否则缩小。

代码：洛谷题解

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#define INF 100000000000000LL
#define eps 1e-13
using namespace std;
#define ll long long
int n;
ll K;
ll ans=INF;
double a[100005];
 
ll cal(double x){return (ll)((sqrt(1+4*x)-1)/2);}
 
bool check(double x)
{
    ll left=K;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]<=x) continue;
        ll xx=cal(a[i]/x);
        left-=xx;
    }
    //cout<<x<<" "<<left<<endl;
    if(left<0) return false;
    return true;
}
 
int main()
{
    
    cin>>n>>K;
    K=K-n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    double l=eps,r=1e12,mid;
    for(int i=1;i<=200;i++)  
    {
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
        //cout<<l<<" "<<r<<endl;
    }
    int i;
    for(i=1,l=0;i<=n;++i){
        double tmp=(double)(cal(a[i]/r)+1);
        l+=a[i]/tmp;
        //cout<<i<<" cal "<<a[i]<<"/"<<r<<"= "<<"tmp"<<"  day"<<a[i]/tmp<<endl;
    }
    cout<<(ll)(l+0.5);
    return 0;
}