斐波那契：luogu1306+luogu3986

luogu1306：对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

经过证明（kan ti jie)得出结论：gcd(f(n),f(m))=f(gcd(n,m)).因此求出gcd(n,m)后求f，因数据大，快速幂优化。
参考代码

#include <iostream>
#define mod 100000000

using namespace std;
struct Mat{
    long long m[4][4];
}e, k, tmp, tmp2;
int n, m;

inline int gcd(int a, int b){
    if(b == 0) return a;
    else return gcd(b, a % b);
}

inline Mat Mul(Mat a, Mat b){
    Mat c;
    c.m[1][1] =c.m[1][2] =c.m[2][1]=c.m[2][2]= 0;
    for( int i = 1; i <= 2; i++){
        for(int j = 1; j <= 2; j++){
            for( int k = 1; k <= 2; k++){
                c.m[i][j] = (c.m[i][j] % mod + a.m[i][k] % mod * b.m[k][j] % mod) % mod;
            }
        }
    }
    return c;
}

inline Mat pow(Mat a, int p){
    Mat c = e;
    while(p){
        if(p & 1) c = Mul(c, a);
        a = Mul(a, a);
        p >>= 1;
    }
    return c;
}

int main(){
 
    e.m[1][1] =e.m[2][2]=1;
    cin >> n >> m;
    k.m[1][1] = k.m[1][2] =k.m[2][1] = 1;k.m[2][2] = 0;
    int mm = gcd(n, m);
    if(mm <= 2){
        cout << "1" << endl;
        return 0;
    }
    else{
        k = pow(k, mm - 2);
        cout << (k.m[1][1] % mod + k.m[1][2] % mod) % mod << endl;
        return 0;
    }
    return 0;
}

洛谷3986

定义一个数列：

f(0) = a, f(1) = b, f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)f(0)=a,f(1)=b,f(n)=f(n−1)+f(n−2)

其中 a, b均为正整数，n≥2。

问有多少种 (a, b)使得 k 出现在这个数列里，且不是前两项。

由于答案可能很大，你只需要输出答案模 10^9 + 7的结果即可。

题目分析：推出方案为f(i-1)*x+f(i)*y=k. 经过证明（kan ti ji）知道gcd（f(i-1),f(i))=1，然后就是扩展欧几里得，求出其特解x0,y0.然后再求出f(i-1)*x+f(i)*y=k的解 kx0，ky0,这个式子的解的周期与f(i-1)*x+f(i)*y=1是一致的，斜率为-f(i)/f(i-1)。找出x的最小正整数解，就对应y的最大正整数解，然后根据其解析周期，计算最终解的系数。就是初中y=kx+b中第一象限内的整数点。

参考代码：

#include <iostream>
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
using namespace std;

long long a1, a2, b1, b2, k, x, y, ans;
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
	if(b==0)
		x=1,y=0;
	 else {
		ll x2,y2;
		exgcd(b,a%b,x2,y2);
		x=y2;y=x2-(a/b)*y2;
	}
}
int main() {
	cin >> k;
	a1 = 1;b2 = 1;
	while(1) {
		long long t1 = 0, t2 = 0;
		t1 = a1 + a2;
		t2 = b1 + b2;
		//cout<<t1<<" "<<t2<<endl; //t1=f(x-1),t2=f(x)
		if(t1 + t2 >k) break;
		a1 = a2;
		b1 = b2;
		a2 = t1;
		b2 = t2;
		exgcd(t1, t2,x,y);
		x*=k;
		x = (x%t2 + t2) % t2;//最小正x对应的正数
		if(x==0)x=t2;
		y=(k-t1*x)/t2;//求出t1x+t2y=k对应的y值
		if(y <0) continue;
		// 因为0<t1<t2 ,所以其解系 x=x0+z*t2 ,y=y0-zt1 ,实际就是 (x-x0)/(y-y0)=-t2/t1,这样的直线上的正整数
		//y已经是符合要求的解。从1，到y-1范围内共有y-1个整数，其变化的周期是t1,符合要求的解的个数(y-1)/t1
		ans = (ans + (y-1)/t1+1) % mod;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}